Teoria mnogości, zadanie nr 4394

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
geometria postów: 865	2016-03-16 13:16:10 Załózmy, ze A, B, C i D sa niepustymi zbiorami. a) Pokaz, ze jesli A$\times$B=C$\times$D, to A=C i B=D. b) Czy z tego, ze (A$\times$B)$\cap$(C$\times$D) =$\emptyset$ wynika, ze A $\cap$ C = $\emptyset$ i B $\cap$ D =$\emptyset$ ? c) Czy z tego, ze (A $\times$B) $\subseteq$(C $\times$ D) wynika, ze A $\subseteq$ C i B $\subseteq$ D? Czy zalozenie niepustosci jest potrzebne? a) Niech A={$a_{1},a_{2},a_{3},...,a_{n}$} B={$b_{1},b_{2},b_{3},...,b_{m}$} C={$c_{1},c_{2},c_{3},...,c_{p}$} D={$d_{1},d_{2},d_{3},...,d_{r}$}. Mamy: A$\times$B={<$a_{1},b_{1}$>, <$a_{1},b_{2}$>, ..., <$a_{n},b_{m}$>} C$\times$D={<$c_{1},d_{1}$>, <$c_{1},d_{2}$>, ..., <$c_{p},d_{r}$>} Dwa zbiory sa rowne jesli maja te same elementy. Zatem <$a_{1},b_{1}$>=<$c_{1},d_{1}$> <$a_{1},b_{2}$>=<$c_{1},d_{2}$> . . <$a_{n},b_{m}$>=<$c_{p},d_{r}$> Para uporzadkowana jest rowna gdy odpowiednie wspolrzedne ma rowne. Zatem $a_{1}=c_{1}$ i $b_{1}=d_{1}$ . . $a_{n}=c_{p}$ i $b_{m}=d_{r}$ Zatem el. zbioru A sa takie same jak el. zb. C oraz el. zb. B sa takie same jak el. zb. D. Stad A=C i B=D. b) (A$\times$B)$\cap$(C$\times$D) =(A$\cap$C)$\times$(B$\cap$D) Nie wynika, bo zeby (A$\times$B)$\cap$(C$\times$D) byl pusty wystarczy aby jeden ze zbiorow A$\cap$C, B$\cap$D byl pusty. (nie musza byc jednoczesnie puste, ale moga). ---------------- d-d nie wprost Zal. ze A$\cap$C$\neq$$\emptyset$ lub B$\cap$D$\neq$$\emptyset$. Zatem zbiory A, B, C, D sa niepuste. Wiec A$\times$B$\neq$$\emptyset$ i C$\times$D$\neq$$\emptyset$. nie ma sprzecznosci, bo z tego ze zbiory sa niepuste nie wynika, ze ich iloczyn jest niepusty.(czyli nie doprowadzilo to do udowodnienia) c) Ustalmy dowolnego x$\in$A i dowolnego y$\in$B oraz niech $<$x,y$>$ bedzie dowolna uporzadkowana para. Zatem z zalozenia mamy, ze jesli $<$x,y$>$$\in$A$\times$B, to $<$x,y$>$$\in$C$\times$D Wiec x$\in$A to x$\in$C oraz y$\in$B to y$\in$D. Czyli A$\subseteq$C i B$\subseteq$D. Poprawne rozumowania?

tumor postów: 8070	2016-03-16 13:54:49 a) Założenie niepustości jest tu potrzebne. Na przykład niech $A=D=\emptyset$ oraz $B=C\neq \emptyset$. Wówczas $A\times B=C\times D$, a jednak nie jest prawdą, że $A=C$. W dowodzie masz niedokładności. Pierwsza polega na założeniu, że skoro zbiory są równe, to pierwszy element jest równy pierwszemu. Na przykład, że $a_1=c_1$. A skąd wiesz, że nie jest $a_1=c_3$ i $c_1=a_3$? :) Równości zbiorów to nie zaprzeczy. Samodzielnie uporządkowałeś zbiory, między innymi A i C, ale nie wiadomo, dlaczego, jeśli nawet zbiory te są równe, to i porządki na nich mają być równe. Dla n elementów istnieje n! porządków liniowych (każda permutacja). Druga niedokładność polega na wprowadzeniu założenia, że zbiory są skończone. W zadaniu widzę, że są niepuste. Skąd pomysł, że są skończone? To dość znacząco obcina zakres stosowania twierdzenia. Raczej się musisz nauczyć operowania na zbiorach nieskończonych. b) Argumentacja w większości ok. Uwagę mam do linii "zatem zbiory A,B,C,D są niepuste". Są, bo tak masz w założeniu zadania. Nie wynika to jednak z linii wcześniej, bo linia wcześniej jest alternatywą i wiesz tylko, że A,C niepuste lub B,D niepuste, ale nie masz na tej podstawie pewności, że wszystkie cztery niepuste. c)ok

geometria postów: 865	2016-03-19 15:03:35 To jakby wygladal dowod dla a)?

tumor postów: 8070	2016-03-19 17:22:15 Najkrócej nie wprost. Przyjmujemy, że na przykład $A\backslash C \neq 0$ (bo z uwagi na symetrię nieważne, które dwa zbiory nie będą równe i które różnice będą niepuste, wystarczy, że jedna). Zatem $x\in A\backslash C$, natomiast $B,C,D$ niepuste. Niech $y\in B$. Na pewno $<x,y> \in A\times B$, na pewno $<x,y>\notin C\times D$ Wiadomość była modyfikowana 2016-03-19 17:22:30 przez tumor

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj