logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Geometria, zadanie nr 441

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

siermieznykmiot
postów: 4
2012-05-25 13:25:28

Napisz równanie linii będącej zbiorem punktów równo oddalonych od okręgu $x^2+y^2=100$ i od punktu $A=(a;0)$, gdzie wartość $a$ jest 3 razy większa od pierwiastka równania $1+\frac{1}{x-5}+\frac{1}{(x-5)^2}+...=\frac{3}{4}$


agus
postów: 2386
2012-05-30 21:40:08

Lewa strona równania-szereg geometryczny zbieżny $a_{1}$=1,
q=$\frac{1}{x-5}$, -1<|q|<1

$\frac{1}{1-\frac{1}{x-5}}$=$\frac{3}{4}$
$\frac{x-5}{x-6}=\frac{3}{4}$
x=2
$\frac{1}{x-5}$=-$\frac{1}{3}$(spełniony warunek dla q)

A=(6,0)

punkty równo odległe od A=(6,0) i okręgu o środku (0,0) i promieniu 10 leżą na okręgu o środku (3,0) i promieniu 5
$(x-3)^{2}+y^{2}=25$

(narysowałam okrąg o środku (0,0) i promieniu 10, zaznaczyłam punkt (6,0); zauważyłam, że punkty równo odległe od tego okręgu i punktu A to np. (8,0),(-2,0),(3,5),(-3,5)-stąd doszłam do równania okręgu-nie wiem,czy można dojść jakoś inaczej do tego)



irena
postów: 2636
2012-05-31 09:16:49

Tak. Punkt (a, b) to punkt spełniający warunek zadania (równo odległy od okręgu i danego punktu)

Punkt (a, b) jest środkiem odcinka łączącego punkt (6, 0) z dowolnym punktem (x, y) okręgu, czyli:
$\left\{\begin{matrix} \frac{x+6}{2}=a \\ \frac{y+0}{2}=b \end{matrix}\right.$

Stąd:
$\left\{\begin{matrix} x=2a-6 \\ y=2b \end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix} x^2=4a2-24a+36 \\ y^2=4b^2 \end{matrix}\right.$

Po dodaniu stronami mamy:
$x^2+y^2=4a^2-24a^2+36+4b^2$

$4a^2-24a+4b^2+36=100$

$a^2-6a+b^2=16$
$(a-3)^2+b^2=25$
Współrzędne szukanych punktów spełniają równanie okręgu o środku (3, 0) i promieniu 5.


siermieznykmiot
postów: 4
2012-06-03 19:55:47

Nie bardzo rozumiem ten tok myślenia. Ja to zrobiłem w następujący sposób:
punkt $P(x,y)$ jest punktem równo oddalonym od danego w zadaniu okręgu oraz od punktu $A$. Mamy więc, że odległość punktu $P$ od okręgu jest równa odległości punktu $P$ od środka minus długość promienia okręgu
$\sqrt{x^2+y^2}-10$
Długość ta, jak wynika z treści zadania jest równa odległości odcinka $|PA|$, czyli
$\sqrt{(x-6)^2+y^2}$
Następnie przyrównujemy te długości
$\sqrt{x^2+y^2}-10=\sqrt{(x-6)^2+y^2}$
Po przekształceniach otrzymałem równanie elipsy
$\frac{(x-3)^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$


irena
postów: 2636
2012-06-03 20:13:13

Punkt A=(6, 0) leży wewnątrz koła o danym okręgu. Odległość punktu A od środka okręgu jest więc mniejsza od promienia okręgu. Punkty P, których szukamy są równo odległe od okręgu i punktu A, leżą więc w połowie drogi między punktem A i dowolnym punktem okręgu.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt   drukuj