Topologia, zadanie nr 4412
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
tumor post贸w: 8070 |  2016-03-23 14:20:15Zatem kolejno: Zbi贸r otwarty $A$ to taki, 偶e dla $x\in A$ istnieje kula $K(x,r)\subset A$ o dodatnim promieniu. Zbi贸r domkni臋ty to taki, kt贸rego dope艂nienie jest otwarte. Kule otwarte s膮 otwarte, dla $y\in K(x,r_x)$ wystarczy wzi膮膰 $r_y=\frac{r_x-d(x,y)}{2}$ i wtedy $K(y,r_y)\subset K(x,r_x)$. Wn臋trzem zbioru A nazywamy sum臋 zbior贸w otwartych zawartych w A, natomiast domkni臋ciem zbioru B nazywamy przekr贸j zbior贸w domkni臋tych zawieraj膮cych B. Wniosek: ka偶dy zbi贸r otwarty daje si臋 opisa膰 jako suma kul otwartych. Wn臋trze zbioru jest zbiorem otwartym. Wn臋trze zbioru otwartego A jest zbiorem A. Domkni臋cie zbioru jest zbiorem domkni臋tym, domkni臋cie zbioru domkni臋tego B jest zbiorem B. Wn臋trze A jest podzbiorem A, B jest podzbiorem domkni臋cia B. Je艣li $U$ jest otwarty, to daje si臋 zapisa膰 jako pewna suma $\bigcup K(x,r)$ (mo偶e to by膰 suma po wszystkich $x\in U$ i dopasowanych do nich $r(x)$), zatem z praw de Morgana zbi贸r $X\backslash U$ daje si臋 zapisa膰 jako $\bigcap (X\backslash K(x,r))$. Twierdzimy, 偶e $U=int A$ wtedy i tylko wtedy, gdy $U`=cl A`$. Dow贸d Oczywi艣cie $U\subset A \iff A`\subset U`$, $U$ otwarty $\iff$ $U`$ domkni臋ty. $U$ jest sum膮 rodziny zbior贸w otwartych $R \iff U`$ jest przekrojem rodziny $P$ zbior贸w domkni臋tych b臋d膮cych dope艂nieniami zbior贸w z $R$. Ponadto $R$ jest rodzin膮 wszystkich zbior贸w otwartych zawartych w $\iff$ $P$ jest rodzin膮 wszystkich zbior贸w domkni臋tych zawieraj膮cych $A`$. |
| strony: 1 2 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj