Teoria mnogo艣ci, zadanie nr 4423
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
geometria post贸w: 865 |  2016-03-30 21:46:54Wiemy, ze zbiory A i B sa niepuste. Pokaz, ze A$\cap$B = A$\cup$B wtedy i tylko wtedy, gdy A$\times$B = B$\times$A. (Wskaz贸wka: zamiast pr贸bowac dowodzic tego faktu bezposrednio, spr贸buj zrozumiec co tak naprawde oznaczaja te warunki dla zbior贸w A i B i poprowadz dow贸d wykorzystujac te uwage.) Co sie zmieni, jesli nie bedziemy zak艂adali, ze zbiory A i B sa niepuste? Zauwazmy, ze gdy zbiory A, B sa niepuste, to rownosc A$\cap$B = A$\cup$B zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy A=B. Analogicznie z A$\times$B = B$\times$A. Zatem A$\cap$A=A$\cup$A, czyli A=A oraz A$\times$A=A$\times$A. Mamy A=A$\iff$A$\times$A=A$\times$A. Ale zauwazmy, ze rownosc A=A jest zawsze prawdziwa dla dowolnego zbioru A oraz rownosc A$\times$A=A$\times$A tez jest zawsze prawdziwa dla dowolnego zbioru A. Zatem ich rownowaznosc tez jest prawdziwa? Gdy nie bedziemy zakladali, ze zbiory A i B sa niepuste, to jezeli A=$\emptyset$ to tez B=$\emptyset$ albo gdy B=$\emptyset$ to tez A=$\emptyset$. W kazdym z tych przypadkow bedzie zachodzila rownowaznosc. Poprawne rozumowanie? |
tumor post贸w: 8070 | 2016-03-30 22:13:26 Mniej wi臋cej, cho膰 niepotrzebnie rozwlek艂e, no i pokazujesz tylko w jedn膮 stron臋. Starczy $A\cup B = A\cap B \Rightarrow A\subset (A\cap B) \wedge B\subset (A\cap B) \Rightarrow A=B \Rightarrow A\times B = A\times A = B\times A$. W drug膮, je艣li $A\times B = B\times A$, to $A\subset B$ i $B\subset A$, wobec czego $A=B$ i st膮d $A\cap B = A\cap A = A = A\cup A=A\cup B$. ---- Je艣li jednak dok艂adnie jeden ze zbior贸w b臋dzie niepusty, to $A\times B = B\times A$, to jest prawd膮, natomiast $A\cap B = A\cup B$ ju偶 nie jest prawd膮. Wobec tego dla jednego zbioru pustego r贸wnowa偶no艣膰 nie zachodzi. Wiadomo艣膰 by艂a modyfikowana 2016-03-30 22:13:43 przez tumor |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj