Geometria, zadanie nr 443

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
michal422 postów: 1	2012-05-25 19:57:00 Dany jest trójkąt o obwodzie p=a+b+c, wpisany w okrąg o promieniu r. Konstruujemy sześciokąt, którego trzy wierzchołki pokrywają się z wierzchołkami trójkąta, a pozostałe trzy są środkami odpowiednich tłuków okręgu.Oblicz pole tego sześciokąta.Sformułuj twierdzenie ogólne przyjmując $S_{n}$-obwód n-kąta;$P_{2n}$ -pole 2n-kąta. Rozwiązałem to zadanie dla sześciokąta foremnego-nie wiem czy uogólnienie do którego doszedłem jest takie samo dla dowolnego sześciokąta? Moje rozwiązanie: -trójkąt w sześciokącie foremnym. Zauważam że jeden z boków trójkąta przechodzi przez środek okręgu opisanego na sześciokącie(trójkąt jest prostokątny, zatem długość np. c=2r, później wnioskuje że a=r i b=$ \sqrt{3}r$. Pole sześciokąta obliczam licząc pole 6 trójkątów o podstawie długości r i wysokości (odpowiednio $ h_{1}, h_{2}, h_{3}, h_{4}, h_{5}, h_{6}$). Wiemy również że $ h_{1}= h_{2}=h_{3}=h_{4}=h_{5}=h_{6}=\frac{ \sqrt{3} }{2}r$ $P_{12}= \frac{1}{2} \cdot r \cdot 6 \cdot \frac{ \sqrt{3} }{2}r=\frac{ \sqrt{3} }{2} \cdot r \cdot S_n$ bo $S_{n}=6r.$ Czy to rozwiązanie jest poprawne dla sześciokąta foremnego?

irena postów: 2636	2012-05-28 11:46:29 Trójkąt ABC, środki łuków to K, L, M O to środek okręgu opisanego Dzielimy sześciokąt AKBLCM promieniami okręgu OA, OB, OC na czworokąty (deltoidy). Jeśli \|AB\|+\|BC\|+\|AC\|=p, to pole sześciokąta: $P_6=\frac{1}{2}r\cdot\|AB\|+\frac{1}{2}r\cdot\|BC\|+\frac{1}{2}r\cdot\|AC\|=\frac{1}{2}pr$ Uogólnienie- dzielimy wielokąt na deltoidy i jego pole to; $P_{2n}=\frac{1}{2}S_n\cdot r$

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj