logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Algebra, zadanie nr 444

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

kidler15
postów: 1
2012-05-28 20:57:30

Witam :) Chciałbym prosić o pomoc. Mam takie zadanie Ay'+By=C Jak to rozwiązać?


tumor
postów: 8070
2014-08-29 12:00:12

$ A,B,C$ są, jak rozumiem, stałymi

$Ay`+By=0$ ma równanie charakterystyczne
$Ar+B=0$ o pierwiastku $r_0=\frac{-B}{A}$, dlatego rozwiązaniem ogólnym jest $ce^{-\frac{B}{A}x}$,

Szukamy rozwiązania dla
$Ay`+By=C$ metodą uzmienniania stałej. Zamieniamy stałą $c$ na funkcję $c(x)$,
$y(x)=c(x)e^{-\frac{B}{A}x}$
$y`(x)=c`(x)e^{-\frac{B}{A}x}-c(x)\frac{B}{A}e^{-\frac{B}{A}x}$

$y`+\frac{B}{A}y=\frac{C}{A}$, stąd

$c`(x)e^{-\frac{B}{A}x}-c(x)\frac{B}{A}e^{-\frac{B}{A}x}+c(x)$$\frac{B}{A}e^{-\frac{B}{A}x}=\frac{C}{A}$, czyli
$c`(x)=\frac{C}{A}e^{\frac{B}{A}x}$
$c(x)=\frac{C}{B}e^{\frac{B}{A}x}$

Ostatecznie
$y(x)=ce^{-\frac{B}{A}x}+\frac{C}{B}e^{\frac{B}{A}x}e^{-\frac{B}{A}x}=ce^{-\frac{B}{A}x}+\frac{C}{B}$


strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt   drukuj