Teoria mnogości, zadanie nr 4488

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
geometria postów: 865	2016-04-22 01:00:29 Wyznacz wzory, ktorymi okreslone sa funkcje $f \circ f$, $g\circ g$, $f\circ g$, $g\circ f$, jesli: a) $f(x)=$$\left\{\begin{matrix} x; dla x\ge 0 \\ -x; dla x<0 \end{matrix}\right.$ $g(x)=2x+1$ Moglbym poprosic o przyklad zlozenia funkcji $f\circ f$, bo z tym mam problem. Z definicji: $(f\circ f)(x)=f(f(x))=f(...)$ nie wiem jak to dobrze zapisac.

tumor postów: 8070	2016-04-22 08:04:51 $ f$ to wartość bezwzględna $f\circ f = f$

geometria postów: 865	2016-04-22 10:38:38 b) f: $R\rightarrow R$ $f(x)=$$\left\{\begin{matrix} x-2; dla x\ge 0 \\ -x-1; dla x<0 \end{matrix}\right.$ A w takim przypadku jak wyznaczyc $f\circ f$?

tumor postów: 8070	2016-04-22 12:42:55 mamy złożenie $f(f(x))$, tu jest dwa razy ta sama funkcja, ale mogłyby być różne, więc je nazwę $f_z(f_w(x))$, czyli zewnętrza i wewnętrzna. Dziedzina $f_w$ jest podzielona na przedziały $(-\infty, 0)$ oraz $[0,\infty)$. Podobnie $f_z$. Jeśli $x\in (-\infty,0)$, to $f_w(x)\in (-1,\infty)$, Podzielmy ten przedział na $(-1,0)$ i $[0,\infty)$ (dzielimy na części wspólne z przedziałami dziedziny funkcji $f_z$). Wówczas żeby $f_w(x) \in (-1,0)$, musimy mieć $x\in (-1,0)$. Czyli a) jeśli $x\in (-1,0)$, to $f_w(x)=-x-1\in (-1,0)$, czyli $f_z(f_w(x))=-(f_w(x))-1=-(-x-1)-1$ Żeby $f_w(x)\in [0,\infty)$ musi być $x\in (-\infty,-1]$, wtedy b) jeśli $x\in (-\infty,-1]$, to $f_w(x)=-x-1\in[0,\infty)$, czyli $f_z(f_w(x))=(-x-1)-2$ Teraz drugi przedział dziedziny $f_w$, czyli $x\in [0,\infty)$, wtedy $f_w(x) \in [-2,\infty)$ c) dla $x\in [2,\infty)$ mamy $f_w(x)\in [0,\infty)$, czyli $f_z(f_w(x))=(x-2)-2$ d) dla $x \in [0,2)$ mamy $f_w(x)\in [-2,0)$, wobec tego $f_z(f_w(x))=-(x-2)-1$ ----- Możemy też rozumować od innej strony. Oczywiście składać te dwie funkcje możemy tylko jako $-(-x-1)-1$ $-(x-2)-1$ $(-x-1)-2$ $(x-2)-2$ Pozostaje wtedy ustalić dla jakich (i czy w ogóle dla jakichś) x złożenie tak wygląda. a) $f_z(f_w(x))=-(-x-1)-1$ jeśli $f_w\in (-\infty,0) \wedge x<0$, czyli $-x-1\in (-\infty,0) \wedge x<0$, czyli $-x \in (-\infty,1)\wedge x<0$, czyli $x\in (-1,\infty) \wedge x<0$, czyli $x\in (-1,0)$ b) $f_z(f_w(x))=-(x-2)-1 \iff x \ge 0 \wedge f_w(x)<0 \iff x\ge 0 \wedge x-2<0 \iff x\in [0,2)$ c) d)

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj