Algebra, zadanie nr 4706
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
geometria post贸w: 865 |  2016-06-15 15:56:40Jaka jest moc zbiorow. a) A={(x,y)$\in R^{2}$: xy<1} 1. x$\neq 0$ y<1/x B={(x, cos mniejszego od 1/x)$\in R^{2}$: y<1/x} |B|=c, bo takich par bedzie tyle ile $R \backslash${0}, czyli c (bo R$\sim R \backslash$ {0}). 2. x=0 0<1 C={(0,y)$\in R^{2}$: 0<1} |C|=c, bo tych par bedzie tyle ile $R$. Zatem A=B$\cup$C. |A|=c, bo suma dwoch zbiorow mocy continuum jest rowna continuum. Czy rozpatrywanie na takie przypadki jest poprawne? |
tumor post贸w: 8070 | 2016-06-15 16:02:37 Ujdzie, ale niepotrzebnie komplikujesz. Je艣li ju偶 wiesz, 偶e A zawiera podzbi贸r mocy c (czyli A ma moc co najmniej c), a sam jest podzbiorem $R^2$, czyli ma moc najwy偶ej c, to dalsze rozwa偶anie nie ma sensu. Najszybciej chyba zauwa偶y膰, 偶e pary (0,y) s膮 w A i starczy. :) |
geometria post贸w: 865 | 2016-06-15 16:25:49 b) B-zbior liczb pierwszych. Liczb pierwszych jest nieskonczenie wiele, zatem zbior B jest nieskonczony. Liczby pierwsze to pewne liczby naturalne. Zatem B jest podzbiorem $N$, czyli |B|=alef zero. c) Zbi贸r wszystkich podzbior贸w zbioru liczb pierwszych, czyli P(B). Moc P(B) jest rozna od mocy B (z twierdzenia Cantora). Da sie okreslic ile wynosi moc P(B)? |
tumor post贸w: 8070 | 2016-06-15 16:35:22 b) ok c) Tyle, ile $P(N)$. 艁atwo zrobi膰 suriekcj臋 z P(N) na $[0,1]$ Suriekcja ta nie b臋dzie r贸偶nowarto艣ciowa, ale w najgorszym razie dwa argumenty b臋d膮 mie膰 przyporz膮dkowan膮 t臋 sam膮 warto艣膰, wobec czego mo偶na suriekcj臋 przerobi膰 na iniekcj臋 w $[0,2]$. Skoro istnieje suriekcja na $[0,1]$ i iniekcja w $[0,2]$, to P(N) ma moc c. Skoro $B \sim N$, to $P(B) \sim P(N)$ |
geometria post贸w: 865 | 2016-06-15 16:38:51 Dziekuje. Czy kazdy zbior nieprzeliczalny ma moc niemniejsza od continuum? |
tumor post贸w: 8070 | 2016-06-15 16:45:48 Hipoteza continuum Cantora m贸wi, 偶e nie istnieje zbi贸r o wi臋kszej mocy ni偶 N, ale mniejszej ni偶 R. Cantor si臋 m臋czy艂 nad dowodem i nic nie zrobi艂. Potem udowodniono, 偶e zar贸wno przyj臋cie HC jest niesprzeczne z aksjomatami teorii mnogo艣ci, ale i zaprzeczenie HC jest z aksjomatami teorii mnogo艣ci niesprzeczne. Oznacza to, 偶e NIE WYNIKA z aksjomat贸w 偶adna odpowied藕 na Twoje pytanie. Mo偶liwe jest tworzenie teorii mnogo艣ci w kt贸rej przyjmuje si臋, 偶e c jest najmniejsz膮 liczb膮 kardynaln膮 wi臋ksz膮 ni偶 moc N, ale mo偶liwe jest te偶 tworzenie teorii mnogo艣ci z aksjomatem, 偶e istniej膮 zbiory mocy po艣redniej mi臋dzy N a R. Wobec tego nieprzeliczalny oznacza wi臋cej ni偶 N, ale czy continuum jest najmniejsz膮 liczb膮 kardynaln膮 nieprzeliczaln膮, to jest kwesti膮 dodania nowego aksjomatu. |
geometria post贸w: 865 | 2016-06-15 16:52:17 A jezeli zbior ma moc continuum to jest nieprzeliczalny? |
tumor post贸w: 8070 | 2016-06-15 16:58:58 Zbi贸r mocy c jest na pewno nieprzeliczalny, bo nie istnieje podzbi贸r N o mocy c (a tylko moc r贸wn膮 mocy podzbioru N nazywamy przeliczaln膮). Natomiast HC nie dopuszcza mocy mniejszej ni偶 c, wi臋kszej od mocy N, zaprzeczenie HC dopuszcza, 偶e c nie jest najmniejsz膮 liczb膮 kardynaln膮 nieprzeliczaln膮. Zada艂e艣 zatem po prostu pytanie, na kt贸re nie ma odpowiedzi wynikaj膮cej z aksjomat贸w teorii mnogo艣ci. (Por. twierdzenia Goedla) |
geometria post贸w: 865 | 2016-06-15 17:17:36 Pytam, zeby wiedziec co robic chcac udowodnic, ze zbior jest nieprzeliczalny. c) Zbior P(B) jest nieprzeliczalny, bo jest mocy c. Chyba, ze z definicji zbioru nieprzeliczalnego czyli | $N$|$<$|P(B)|. Trzeba pokazac, ze |$N$|$\le$|P(B)| i |$N$|$\neq$|P(B)|( te moce sa rozne z powyzszego). Czyli jeszcze |$N$|$\le$|P(B)|. Wowczas wiemy, ze istnieje funkcja roznowartosciowa z $N$ w P(B). Tylko jaka? |
tumor post贸w: 8070 | 2016-06-15 21:14:14 Je艣li chcesz udowodni膰, 偶e zbi贸r nie jest przeliczalny, to pokazujesz brak iniekcji w N (albo co艣 r贸wnowa偶nego temu brakowi). Zbi贸r jest przeliczalny, gdy jest r贸wnoliczny z podzbiorem zbioru N, czyli gdy istnieje iniekcja w N. R贸wnowa偶nie na przyk艂ad zbi贸r jest przeliczalny, gdy istnieje suriekcja z N na ten zbi贸r. Je艣li zatem nie istnieje, to jest nieprzeliczalny. c) owszem, moc zbioru nieprzeliczalnego jest zawsze wi臋ksza ni偶 moc zbioru liczb naturalnych. Je艣li potrzebujesz funkcji r贸偶nowarto艣ciowej z N w P(B) to mo偶na poda膰 kilka oczywistych. Najoczywistsz膮 z oczywistych jest $f(n)=\{p_n\}$, gdzie $p_n$ jest n-t膮 liczb膮 pierwsz膮 (licz膮c od najmniejszej). Inn膮 oczywist膮 $g(n)=\{p_1,p_2,...,p_n\}$ Jeszcze inn膮 jest $h(n)=\{p\in B:p<(n+666)^4\}$ Przy tym ostatnia mo偶e wymaga膰 uzasadnienia. Mamy twierdzenie, 偶e mi臋dzy n a 2n znajduje si臋 liczba pierwsza, wi臋c na pewno znajduje si臋 mi臋dzy $n^4$ a $(n+1)^4$, gdy n>0. Wobec tego dla r贸偶nych argument贸w funkcja przyjmuje r贸偶ne warto艣ci. Wiadomo艣膰 by艂a modyfikowana 2016-06-15 21:14:43 przez tumor |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj