Analiza matematyczna, zadanie nr 4711

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
koki22 postów: 15	2016-06-16 08:12:27 Witam,mam polecenie w którym mam za pomaca całki podwójnej zapisać wzór na obliczenie powierzchni ograniczonej funkcjami $z= \sqrt{x ^{2} + y^{2} }$ i $z=4$ No cóż narysowałem powierzchnie i jak wiadomo to obcięty(skrócony na wysokość) stożek.. Wyszło mi że całka do policzeni a powierzchni będzie wyglądać tak: $\int_{}^{} \int_{}^{} 4- \sqrt{ x ^{2}+ y^{2} }dxdy$, czy dobrze zrobiłem podstawiając pod $z$ tą 4 i to ze wszystko przerzuciłem na lewa stronę ? I jak okreslic granice calkowania w takim razie ? Z góry dziękuje za pomoc w rozwiązaniu :)

tumor postów: 8070	2016-06-16 08:25:58 Jest ok. Granice całkowania ustalamy patrząc, jak zmieniają się x i y. Podstawą stożka jest koło, akurat jest u góry, ale to żadna różnica. W tym kole współrzędne x zmieniają się od -4 do 4, prawda? (jeśli będzie mniejszy od -4 albo większy od 4 to wypadniemy poza stożek) Czyli pierwsza całka $\int_{-4}^4 dx$ natomiast jeśli x mamy już wybrany z przedziału $[-4,4]$, to y obliczamy. Okrąg to przecięcie powierzchni bocznej i podstawy, czyli $4=\sqrt{x^2+y^2}$ $16=x^2+y^2$ $y=\pm \sqrt{16-x^2}$ Widzisz bowiem, że jeśli x=4, to y musi być 0, jeśli $x=\sqrt{7}$, to y zmienia się od -3 do 3, prawda? To, jak zmienia się y, jest zależne od tego, jaki już mamy x. Będzie $\int_{-\sqrt{16-x^2}}^{\sqrt{16-x^2}}dy$. Zamiana miejscami x i y, czyli zamiana kolejności całkowania nic istotnego nie zmienia, ale oczywiście wtedy y zmienia się od -4 do 4. A praktyczne policzenie samej całki łatwe będzie we współrzędnych biegunowych.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj