Rachunek różniczkowy i całkowy, zadanie nr 4784

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
kadia69 postów: 5	2016-08-30 20:15:01 Mam spory problem jak obliczyć tą całkę , proszę o pomoc, co należało by po kolei zrobić \int_{6x{2}^-26x+26}/{x^{3}-8x^{2}+11x-6}

tumor postów: 8070	2016-08-30 22:20:33 $\int \frac{6x^{2}-26x+26}{x^{3}-8x^{2}+11x-6} dx$ tak to miało wyglądać? Na początek szukamy pierwiastków mianownika. Tu jest kaszana. Podejrzewam literówkę w przykładzie.

kadia69 postów: 5	2016-08-30 22:23:57 Tak, to jest dokładnie ten przykład, próbowałam to rozbić ale nie doszłam jak, niestety przykład jest dobry.. Nie ma literówki

tumor postów: 8070	2016-08-30 22:31:11 Nie no, na pewno jest literówka. Może być w podręczniku, tam też przecież się mylą. Jest bez sensu robić dla nauki całkowania przykład z takimi pierwiastkami wolfram Sensownie będzie na przykład jeśli zmienimy na +13x w mianowniku. No ale tak jak teraz, to jest ogromna komplikacja rachunkowa przy standardowym przykładzie. Możesz też podać wynik, jeśli znasz odpowiedź, to dojdziemy do tego, jak wyglądał przykład na starcie.

kadia69 postów: 5	2016-08-30 22:35:02 Niestety, dostałam taki przykład właśnie na egzaminie, i nie wiedziałam jak go ugryźć, wiem jedynie że trzeba użyć dwóch metod aby to rozwiązać. Jedyne co to czy coś to zmieni jeśli zamiast 8- mki do kwadratu będzie 6-tka ?

tumor postów: 8070	2016-08-30 22:59:29 Zmieni. $\int \frac{6x^2-26x+26}{x^3-6x^2+11x-6}dx= \int \frac{6x^2-26x+26}{(x-1)(x^2-5x+6)}dx= \int \frac{6x^2-26x+26}{(x-1)(x-2)(x-3)}dx= \int \frac{A}{x-1}dx +\int \frac{B}{x-2}dx +\int \frac{C}{x-3}dx$ stałe A,B,C musimy wyliczyć, sensownie jest sprowadzić ułamki do wspólnego mianownika (będzie nim oczywiście (x-1)(x-2)(x-3)) $A(x-2)(x-3)+B(x-1)(x-3)+C(x-1)(x-2)=6x^2-26x+26$ czyli $x^2(A+B+C)=6x^2$ $x(-5A-4B-3C)=-26x$ $6A+3B+2C=26$ stąd 2A+B+18=26 4A+B+12=26 czyli 2A=6 A=3 B=2 C=1 dostaniemy $\int \frac{A}{x-1}dx +\int \frac{B}{x-2}dx +\int \frac{C}{x-3}dx= \int \frac{3}{x-1}dx +\int \frac{2}{x-2}dx +\int \frac{1}{x-3}dx =3ln\|x-1\|+2ln \|x-2\|+ln\|x-3\|+c$ gdzie c jest dowolną stałą

kadia69 postów: 5	2016-08-30 23:09:12 Bardzo dziękuję za pomoc , a jak nazywa się ta metoda rozwiązywania całki ?

tumor postów: 8070	2016-08-30 23:26:36 rozkład na ułamki proste. Mianownik jest wielomianem. Jeśli licznik ma stopień mniejszy niż mianownik (zawsze da się wyłączyć całości tak, żeby miał), to całą funkcję wymierną da się zapisać jako suma ułamków, które są postaci $\frac{A}{(x-x_0)^n}$ lub $\frac{Bx+C}{(x^2+bx+c)^k}$ (tu w mianowniku $\Delta<0$) Takie ułamki nazywamy prostymi. W przypadku gdy $x_0$ jest jednokrotnym pierwiastkiem wielomianu (jak wyżej liczby 1,2,3) to n=1. Gdyby jakaś liczba była kilkukrotnym pierwiastkiem wielomianu, to występują wszystkie ułamki proste n=1,2,3,.. aż do krotności pierwiastka. Stałe A,B,C,... znajduje się przez rozwiązanie układu równań. Poszczególne ułamki proste całkuje się już odrębnymi metodami zależnie od tego, który to rodzaj i jaki jest wykładnik potęgi w mianowniku. Na przykład $\int \frac{1}{(x-2)^3(x^2-3x+6)^2}dx= \int \frac{A}{(x-2)}dx+ \int \frac{B}{(x-2)^2}dx+ \int \frac{C}{(x-2)^3}dx+ \int \frac{Dx+E}{(x^2-3x+6)}dx+ \int \frac{Fx+G}{(x^2-3x+6)^2}dx$

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj