logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Analiza matematyczna, zadanie nr 4802

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

diankaaa
postów: 3		 2016-09-18 13:07:08

całka (x+2)/(x^2+6x+5)dx


diankaaa
postów: 3		 2016-09-18 13:08:26

Proszę o pomoc w zadaniu
Oblicz ekstremum funkcji f(x,y)= x^3+6x^2-5x+y^2-4y


janusz78
postów: 820		 2016-09-18 14:04:15

Zadanie 1

$\int \frac{x+2}{x^2 +6x + 5}dx = \int \frac{x+2}{(x+5)(x+1)}dx.$

Rozkładamy funkcję podcałkową na sumę ułamków prostych.

$ \frac{x+2}{(x+5)(x+1)} = \frac{A}{x+5} + \frac{B}{x+1}.$

Obliczamy całki z ułamków prostych.

$ x +2 \equiv (A+B)x + A +5B.$

$( A + B = 1 \wedge A + 5B = 2.$

$ A = \frac{3}{4}, \ \ B = \frac{1}{4}.$

$\int \frac{x+2}{x^2 +6x + 5}dx = \frac{3}{4}\int \frac{1}{x+5}dx + \frac{1}{4}\int \frac{1}{x+1}dx = \frac{3}{4}ln|x+5|+\frac{1}{4}ln|x+1| + C .$

Obliczenie całki w pakiecie Sage:


var('x') 

x

integrate((x+2)/(x^2 + 6*x + 5), x) 

       	

3/4log(x+5)+1/4log(x+1)


Zadanie 2

$ f(x,y) = x^3 + 6x^2 -5x +y^2 - 4y $

Obliczamy pierwsze pochodne cząstkowe.

$ f'_{x}(x,y) = 3x^2 + 12x - 5.$

$ f'_{y}(x,y) = 2y - 4.$

Znajdujemy współrzędne punktów stacjonarnych z układu równań:

$f'_{x}(x,y) = 3x^2 + 12x - 5 = 0,$
i
$ f'_{y}(x,y) = 2y - 4 = 0.$

$ P_{1}\left(-2 -\frac{1}{3}\sqrt{51}, 2\right)\approx P_{1}(-4,38, 2), \ \ P_{2}=\left(-2 +\frac{1}{3}\sqrt{51}, 2\right)\approx P_{2}(0,38, 2).$

Znajdujemy macierz drugiej różniczki,.

$ D^2(f(x,y))= \left[\begin{matrix}6x +12&0\\ 0&2 \end{matrix}\right].$

Badamy określoność drugiej różniczki w punktach stacjonarnych.

$D^2(P_{1})= \left[\begin{matrix}-14,28&0 \\ 0&2\end{matrix}\right].$


$D^2(P_{2})= \left[\begin{matrix}14,28&0 \\ 0&2\end{matrix}\right].$

W punkcie $ P_{1}$ macierz jest nieokreślona ani dodatnio ani ujemnie - funkcja nie ma ekstremum lokalnego.
W punkcie $ P_{2}$ macierz jest określona dodatnio - funkcja posiada minimum lokalne.

$ f_{min.lok} \approx f(0,38; 2).$



Wiadomość była modyfikowana 2016-09-18 18:50:53 przez janusz78

janusz78
postów: 820		 2016-09-19 19:47:15

Badanie przebiegu tej funkcji w pakiecie Sage patrz na stronie

http://matma4u.pl/topic/47452-badanie-przebiegu-funkcji-w-sage/

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt   drukuj