logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Algebra, zadanie nr 4813

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

patrycjap2
postów: 7
2016-09-25 19:00:40

Rozwiaz rownanie rozniczkowe oraz zbadaj jednoznacznosc rozwiazan:
$(x+1)dy=(-xy)dx$


patrycjap2
postów: 7
2016-09-25 19:02:03

moj blad, tresc rachunek rozniczkowy i calkowy.


tumor
postów: 8070
2016-09-25 19:20:21

Zadanie jest bardzo podobne do
http://www.math.edu.pl/forum/temat,studia,4811,0
Można je rozwiązać metodą czynnika całkującego i nie ma na trasie trudności rachunkowych.

Jednocześnie jednak to równanie można rozwiązywać jak równanie o zmiennych rozdzielonych

$\frac{1}{y}dy=\frac{-x}{x+1}dx$
którego rozwiązanie jest jeszcze łatwiejsze.
Przy tym zauważam, że jak się przez coś dzieli, to warto się zastanowić, co gdyby to było zerem. :)


patrycjap2
postów: 7
2016-09-25 19:23:06

To czesc z rozwiazaniem rownania, natomiast jak wykonac druga czesc tzn: zbadaj jednoznacznosc rozwiazan.


tumor
postów: 8070
2016-09-25 19:58:46

Dałem wskazówkę.
y jest funkcją stale równą 0, to będzie
(x+1)y`=-xy dla wszystkich x.

Jednocześnie jednak rozwiązując równanie dostajemy rozwiązanie ogólne, czyli pewien zestaw krzywych (zależnych od parametru C, który się w rozwiązaniu pojawi).
Czy te krzywe się przecinają? Czy przecinają prostą y=0?

Na zajęciach mieliście dużo twierdzeń o jednoznaczności rozwiązania. W pewnych obszarach rozwiązania będą jednoznaczne (pod pewnymi warunkami). Korzystaj!


patrycjap2
postów: 7
2016-09-25 21:24:29

$\frac{1}{y}dy=\frac{x}{x+1}dx$
$u=x+1$
$\frac{1}{y}dy=-du+\frac{du}{u}dy$
$ln(y)=-u +ln(u)+C$
$ln(y)-ln(x+1)+x+1 =C $
Z dziedziny logarytmu:
$ x\in\mathbb{R}\setminus \{1\}$
$ y\in\mathbb{R}\setminus \{0\}$

Natomiast co do twierdzen nie bylam na tych zajeciach dlatego tego akurat nie potrafie tego zrobic.


tumor
postów: 8070
2016-09-25 21:38:27

Zazwyczaj traktuje się y jako funkcję zmiennej x. Nic jednak nie stoi na przeszkodzie, by patrzeć na x jak funkcję y.

z tego, co liczysz, wyznacz y, dostaniesz pewną funkcję y(x).
Natomiast rozpatrując same założenia, które piszesz na końcu, znajdź inne rozwiązania równania różniczkowego, których nie uzyskujesz tą metodą liczenia.
Masz teraz zestaw krzywych. Powiedz coś o nich. Na chłopski rozum.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt   drukuj