Topologia, zadanie nr 4850

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
klos postów: 21	2016-10-12 21:25:42 a czemu te metryki są równoważne ?

tumor postów: 8070	2016-10-12 21:57:49 Bo spełniają warunek równoważności? Istnieje kilka warunków, a ja nie zgadnę, jaki mieliście podany. Można zauważyć taką rzecz: jeśli $x\in K_1(y,r_1)$ (tzn x należy do kuli w sensie metryki pierwszej), to istnieje $K_2(z,r_2)$ (tzn kula w sensie drugiej metryki, taka, że $x\in K_2 \subset K_1$, oraz istnieje $K_3(t,r_3)$ (kula w sensie pierwszej metryki) taka, że $x\in K_3\subset K_2$. Cóż to oznacza? Że każdy zbiór otwarty w sensie pierwszej metryki jest otwarty w sensie drugiej i na odwrót, o czym inaczej mówimy, że metryki te generują te same topologie. Jeśli x_n jest ciągiem zbieżnym do x w sensie jednej metryki, to z powyższego rozumowania wynika, że jest też ciągiem zbieżnym w sensie drugiej metryki. Cóż zatem należy pokazać? Bierzemy dowolny x i kulę o promieniu r w sensie jednej z metryk, może mieć środek w x. Pokazujemy, że istnieje kula o środku x i dodatnim promieniu w sensie drugiej z metryk, ale zawierająca się w pierwszej. Następnie pokazujemy istnienie kuli znów w sensie pierwszej z metryk, zawierającej się w drugiej. To samo tylko w dwie strony.

strony: 1 2

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj