Algebra, zadanie nr 4853

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
alekk97 postów: 14	2016-10-10 17:23:14 Mógłby ktoś sprawdzić, czy to rozwiązanie jest poprawne i czy w ogóle ma sens? $\forall_{n\ge12} p_{n}>3n$ Gdzie $p_{n}$ to n-ta liczba pierwsza Moje rozwiązanie opiera się na tym, że każdą liczbę pierwszą większą od 3 można przedstawić w postaci p=6k+1 lub p=6k+5, k$\in$N Dla n=12 p=37>3×12=36 Załóżmy, że $p_{n}$>3n 1° $p_{n}$=6k+1, $p_{n+1}$=6k+5 6k+1>3n 6k+5>3n+4 $p_{n+1}$>3(n+1)+1>3(n+1) 2° $p_{n}$=6k+5, $p_{n+1}$=6(k+1)+1 6k+5>3n 6k+7>3n+2 6(k+1)+1>3n+2 $p_{n+1}$>3n+2=3(n+1)-1 Ponieważ $p_{n+1}$ to liczba pierwsza, więc nie może być podzielona przez 3. Zatem $p_{n+1}$>3(n+1) 3° $p_{n}$=6k+1, $p_{n+1}$=6(k+1)+1 Analogicznie 4° $p_{n}$=6k+5, $p_{n+1}$=6(k+1)+5 Analogicznie

tumor postów: 8070	2016-10-10 17:32:38 Uhm. Rozważasz tu cztery przypadki, w których kolejne dwie liczby pierwsze różnią się o 1) 4 2) 2 3) 6 4) 6 Natomiast nietrudno podać dowód faktu, że między dwiema kolejnymi liczbami pierwszymi może istnieć dowolnie dużo liczb złożonych, tzn, dla dowolnej liczby naturalnej m znajdziemy dwie kolejne liczby pierwsze różniące się nie mniej niż m. Wobec tego przy tym zapisie zdecydowanie się nie zgodzę. Jeśli chcesz konkretny przykład, to liczba $p_n=89$ jest pierwsza postaci 6k+5 natomiast $6(k+1)+1=91$ złożona, $6(k+1)+5=95$ złożona

alekk97 postów: 14	2016-10-10 18:14:58 A inna wersja? m>=1 1° $p_{n}$=6k+1, $p_{n+1}$=6(k+m)+1 6k+1>3n 6k+1+6m>3n+6m $p_{n+1}$>3(n+2m)$\ge$3(n+2)>3(n+1) 2° $p_{n}$=6k+1, $p_{n+1}$=6(k+m)+5 3° $p_{n}$=6k+5, $p_{n+1}$=6(k+m)+1 4° $p_{n}$=6k+5, $p_{n+1}$=6(k+m)+5

tumor postów: 8070	2016-10-10 18:29:04 Teraz wygląda poprawnie. Choć można skondensować. Dwie kolejne liczby pierwsze różnią się co najmniej o 2 (poza liczbami 2 i 3, których pod uwagę nie bierzemy). Indukcyjnie krok startowy dla n=12 działa, $p_n>3n$ zatem $p_{n+1}>3n+2$, no ale $p_{n+1}$ nie jest równe $3n+3$ bo nie byłoby liczbą pierwszą zatem $p_{n+1}>3n+3=3(n+1)$ Niczego więcej nie potrzeba przecież.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj