logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Analiza matematyczna, zadanie nr 4867

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

tomek987
postów: 103
2016-10-14 22:17:12

Znajdź granice lub udowodnij, że nie istnieje:

a) $\lim_{(x,y,z) \to (0,0,0)} \frac{xy}{z^{2}+1}$
b) $\lim_{(x,y,z) \to (0,0,0)} \frac{x^{2}y^{2}z^{2}}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$


tumor
postów: 8070
2016-10-14 22:52:05

a) chyba dość oczywiste 0? Mianownik dodatni i nie mniejszy niż 1, licznik o wartości bezwzględnej malejącej do 0.

b) również 0

dla danego $\epsilon$ dodatniego każdy ciąg $(x_n,y_n,z_n)$ zbieżny do $(0,0,0)$ ma, począwszy od pewnego n naturalnego, wszystkie współrzędne mniejsze niż $\epsilon$.

Wówczas także $0\le \frac{x^2y^2z^2}{x^2+y^2+z^2}<\epsilon$


tomek987
postów: 103
2016-10-15 08:04:34

A jak to zapisać jakoś bardziej formalnie?

Mam pytanie, czy zawsze w badaniu granic wielu zmiennych możemy badać tylko moduł funkcji?


tumor
postów: 8070
2016-10-15 08:56:12

A na studiach nie uczą?

Definicja granicy funkcji Heinego w $(x_0,y_0,z_0)=(0,0,0)$ mówi, że jeśli $(x_n,y_n,z_n)\to (0,0,0)$, to $f(x_n,y_n,z_n)\to g$.
Ustalmy $1>\epsilon>0$
$(x_n,y_n,z_n)\to (0,0,0) \Rightarrow
\exists_{n_0\in N} \forall_{n>n_0} |x_n|<\epsilon \wedge |y_n|<\epsilon \wedge |z_n|<\epsilon \Rightarrow
\exists_{n_0\in N} \forall_{n>n_0} \frac{|x_ny_n|}{z_n^2+1}<\frac{\epsilon*\epsilon}{1}=\epsilon^2<\epsilon \Rightarrow
\exists_{n_0\in N} \forall_{n>n_0} -\epsilon<f(x_n,y_n,z_n)<\epsilon \Rightarrow \lim_{(n \to \infty)}f(x_n,y_n,z_n)=0$

Drugi przykład zapisujesz analogicznie, tylko najpierw zrozum, co jest napisane, a nie próbuj kopiować jak mnich średniowieczny, bez zrozumienia.


strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt   drukuj