Algebra, zadanie nr 4872

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
pm12 postów: 493	2016-10-16 11:05:14 Wykazać, że $\forall_{q>1}$ $\forall_{\alpha>0}$ $\exists_{c>0}$ $\forall_{x \ge 1}$ $q^{x}$ $\ge$ c$\cdot$ $x^{\alpha}$. Wartości q, $\alpha$, c, x są rzeczywiste. Wiadomość była modyfikowana 2016-10-16 18:07:16 przez pm12

tumor postów: 8070	2016-10-16 15:42:38 Przecież to nie jest prawdą. Weźmy $q=2$, $\alpha = 1$ Nie wiadomo, czym jest $k$. No ale ma być $\exists_{c>0} \forall_{x\ge 1} 2^k\ge cx$ no i nie, tak nie jest, gdy nie wiemy czym jest k. Jednakże dla każdego k rzeczywistego i dla każdego c dodatniego znajdziemy x większy od 1, który temu zdaniu zaprzeczy (co zresztą wiedział już Archimedes). Popraw treść, bo jeśli mamy udowadniać, to tylko zdania prawdziwe. Wiadomość była modyfikowana 2016-10-16 15:43:15 przez tumor

pm12 postów: 493	2016-10-16 18:07:44 Słusznie, pomyliłem się w treści. Teraz jest poprawnie.

tumor postów: 8070	2016-10-16 18:37:04 1. Zakładam, że umiesz udowodnić tezę dla $\alpha=1$ (można z użyciem pochodnych, łatwo) 2. Dość łatwo zmienić 1. tak, aby udowodnić tezę dla $\alpha \in (0,1]$. 3. Załóżmy, że teza zachodzi dla $\alpha \in (k,k+1]$ gdzie $k\in N_0$. Jeśli teraz $\alpha \in (k+1,k+2]$, to rozważmy funkcję $f(x)=q^x-cx^\alpha$ (oczywiście tak naprawdę to klasa funkcji z parametrem c) mamy $f(1)>0$ dla pewnego $c$ $f`(x)=q^xlnq-c\alpha x^{\alpha-1}$ Wiemy z założenia, że dla pewnego c dodatniego jest $q^x-cx^{\alpha-1}\ge 0$ (powyżej dobieramy c dwa razy dla spełnienia pewnych własności. Jeśli weźmiemy minimum z tych dwóch wyborów, to spełnione będą obie własności) czyli $q^xlnq -cln q x^{\alpha-1}\ge 0$ jeśli $c_1 \alpha<clnq$ oraz $c_1<c$, to $q^xlnq-c_1\alpha x^{\alpha-1}\ge 0$ czyli funkcja f z użyciem stałej $c_1$ ma dodatnią pochodną i dodatnią wartość w 0, czyli dla $x\ge 1$ przyjmuje jedynie wartości dodatnie. $q^x\ge c_1x^\alpha$

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj