logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Algebra, zadanie nr 4878

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

iwonkaczapie9
postów: 40
2016-10-18 20:20:27

Witam. Czy mogę prosić o pomoc w takim zadaniu:
Sprawdź czy operator $T:X\rightarrow Y$ jest operatorem liniowym, ciągłym i ograniczonym. Znaleźć normę tego operatora (o ile istnieje), jeżeli:

a. $X=c$, $x=(t_{1},t_{2}, ...) \parallel x\parallel _{x}=sup_{i \epsilon \mathbb{N}}|x_{i}|$, $Y=\mathbb{R}$, $\parallel x\parallel_{Y}=|x|$, $Tx=lim _{n\rightarrow\infty}t_{n}$

b. $(X, \parallel \cdot\parallel _{x})=(\mathbb{R}^{2},\parallel \cdot \parallel _{e}), x=(x_{1},x_{2}), Y=C_{[0,2\pi]} \parallel x\parallel _{y}=\parallel x\parallel _{s}=sup_{t\epsilon[0,2\pi]}|x(t)|, (Tx)(t)=x_{1}cost+ x_{2}sint $

Z góry bardzo dziękuję.



tumor
postów: 8070
2016-10-18 22:27:28

a) chyba nieco mieszasz litery t i x

Operator przyporządkowuje ciągowi zbieżnemu jego granice. Czy jeśli pomnożyć ciąg przez stałą, to granica też będzie jak wcześniejsza mnożona przez tę stałą? Czy jeśli dodasz dwa ciągi zbieżne, to ich granica będzie sumą granic wyjściowych ciągów?

Operator byłby ograniczony, gdyby istniała stała C taka, że dla wszystkich x jest $|T(x)|\le C |x|$ (gdzie kreski pionowe oznaczają normy w odpowiednich przestrzeniach tylko mi się pisać nie chce).
Sprawdź proszę, czy stała C=2 spełnia ten warunek, czyli czy moduł granicy ciągu jest zawsze mniejszy lub równy dwukrotności supremum modułów wyrazów ciągu. 0.

Operator liniowy jest ciągły wtw jest ograniczony.

Kula jednostkowa w X to zbiór ciągów zbieżnych o wyrazach z $[-1,1]$. Takie ciągi mogą mieć granice z przedziału $[-1,1]$. Wobec tego supremum norm wartości operatora dla elementów kuli jednostkowej wynosi 1.

b) może spróbuj przemyśleć to samodzielnie? Definicje znasz.




Wiadomość była modyfikowana 2016-10-18 22:31:31 przez tumor
strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt   drukuj