logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Analiza matematyczna, zadanie nr 4880

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

kasiaiw
postów: 50
2016-10-19 20:18:03

Proszę o pomoc w takim zadaniu:
Sprawdź czy operator $T:X\rightarrow Y$ jest operatorem liniowym, ciągłym i ograniczonym. Znaleźć normę tego operatora (o ile istnieje), jeżeli:
$X=C_{[a,b]}$ z normą supremum,$ Y=(\mathbb{R}, |\cdot|), (Tx)(t)=\int ^{b}_{a}x(t)dt$

Wiadomość była modyfikowana 2016-10-19 20:25:16 przez kasiaiw

kasiaiw
postów: 50
2016-10-19 20:23:06

Sprawdziłam że jest operatorem liniowym i jest operatorem ograniczonym przez M=(b-a). Mam problem z wyznaczeniem normy nie potrafię wskazać funkcji . Proszę o pomoc .


tumor
postów: 8070
2016-10-19 20:46:04

Zaczynamy od kuli domkniętej jednostkowej w X. To funkcje, których supremum jest 1 (lub mniej). Nie wiesz, jaka jest największa możliwa całka takiej funkcji na przedziale a,b?


kasiaiw
postów: 50
2016-10-20 08:53:27

czy tą funkcją może być $t^2$?

Wiadomość była modyfikowana 2016-10-20 08:53:40 przez kasiaiw

tumor
postów: 8070
2016-10-20 09:52:59

Jaką "tą". Jeśli tą, która ma leżeć w jednostkowej kuli domkniętej to nie, bo niekoniecznie przyjmuje wartości mniejsze równe 1.
Jeśli "tą", która ma największą całkę na przedziale, to również nie.

Zacznij myśleć, a nie zgaduj. Funkcji ciągłych na przedziale jest zbyt dużo, żebyś mogła je po kolei sprawdzać. Masz przedział domknięty. Funkcje ograniczone. Która z tych funkcji ma największą całkę na tym przedziale? (Odpowiedź jest tak prosta, że z całą pewnością część gimnazjalistów odpowiedziałaby poprawnie po wyjaśnieniu im intuicyjnie, co to całka)


janusz78
postów: 820
2016-10-20 18:15:36

Jest to operator całki Riemanna.

Jego norma:

$ \parallel T(x(t)\parallel \leq \int_{a}^{b}|x(t)|dt \leq (b-a) sup_{t\in [a,b]}(x(t)) = (b-a)\cdot max_{t\in [a,b]}[x(t)].$

Zatem ciągły i

$ \parallel T \parallel \leq (b-a),$

ale dla funkcji stałej $ x(t)\equiv 1 =x_{0} $, gdy $ t\in [a, b] $ norma

$ \parallel T(x_{0})\parallel = (b-a)\parallel T_{0}\parallel = b-a.$

Patrz na przykład:

Lech Drewnowski. Elementy Analizy Funkcjonalnej. Skrypt Uniwersytetu im. Adama Mickiewicza. Strony 56-62. Poznań 2008.


strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt   drukuj