Analiza funkcjonalna, zadanie nr 4881

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
kasiaiw postów: 50	2016-10-19 20:24:06 Sprawdź czy operator $T:X\rightarrow Y$ jest operatorem liniowym, ciągłym i ograniczonym. Znaleźć normę tego operatora (o ile istnieje), jeżeli: $(X,\\|\cdot\\|_{X})=(R^{2}, \\|\cdot\\|_{e}), (Y,\\|\cdot\\|_{Y})=(\mathbb{R},\|\cdot\|), T(t_{1},t_{2})=t_{1}+t_{2}$ Sprawdziłam że jest operatorem liniowym i jest operatorem ograniczonym przez $M=1$. Mam problem z wyznaczeniem normy nie potrafię wskazać funkcji . Proszę o pomoc . Wiadomość była modyfikowana 2016-10-19 20:24:21 przez kasiaiw

tumor postów: 8070	2016-10-19 20:44:25 Nie znajdziesz największej wartości funkcji $t_1+t_2$ przy warunku $t_1^2+t_2^2\le 1$? To raczej było na analizie.

janusz78 postów: 820	2016-10-20 21:32:18 Mamy znaleźć $\parallel T \parallel= max_{t^2_{1}+t^2_{2}=1}\left\{ \sqrt{(t_{1}+ t_{2})^2} \right\}= \sqrt{max_{t^2_{1} + t^2_{2}=1}(t_{1} + t_{2})^2}. $ Zgodnie z metodą mnożników Lagrange'a dla pewnego $ \lambda > 0:$ $\left[ \frac{\partial(t_{1} + t_{2})^2}{\partial t_{1}}, \frac{\partial(t_{1}+t_{2})^2}{\partial t_{2}}\right] = \lambda \left[\frac{\partial(t^2_{1} +t^2_{2})}{\partial t_{1}}, \frac{\partial(t^2_{1} +t^2_{2})}{\partial t_{2}}\right].$ Co prowadzi do układu równań: $ \left \{ \begin{matrix} 2(t_{1} + t_{2}) = 2\lambda t_{1}\\ 2(t_{1}+ t_{2}) = 2\lambda t_{2} \\ t^2_{1} + t^2_{2}= 1 \end{matrix}\right.$ Z pierwszych dwóch równań $\lambda(t_{1}-t_{2})=0, \ \ t_{1} = t_{2}.$ Z trzeciego równania: $ t^2_{1} = t^2_{2}= \frac{1}{2}, \rightarrow (t_{1}, t_{2}) = \pm \left( \frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}\right).$ Stąd $ \parallel T \parallel = \sqrt{(\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}})^2}= \sqrt{2}.$ lub $ \parallel T \parallel = \sqrt{(-\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{2}})^2}= \sqrt{2}.$ Patrz np: Witold Rzymkowski. Macierze i Operatory. strona 170. Wydawnictwo Uniwersytetu Marii Curie Skłodowskiej Lublin 2004.

tumor postów: 8070	2016-10-20 21:46:22 Prosiłbym o zostawienie czegoś studentom. :) Bez metody mnożników to samo zadanie sprytem wykonujemy tak: 1) możemy rozważać wartość bezwzględną, a możemy od razu zauważyć symetrię, wobec czego zakładamy $t_1,t_2$ dodatnie bez straty poprawnego wyniku. 2) maksymalizacja $t_1+t_2$ przy ustalonej sumie $t_1^2+t_2^2$ (tutaj suma to 1) jest tym samym zadaniem, co minimalizacja $t_1^2+t_2^2$ przy zadanej sumie $t_1+t_2=a$ mamy zatem zminimalizować $t_1^2+(a-t_1)^2$ czyli $2t_1^2-2at_1+a^2$ minimum, jak wie licealista poznający funkcję kwadratową, jest dla $t_1=\frac{1}{2}a=t_2$ wobec czego podobnie maksimum w naszym zadaniu, w którym go szukamy, jest dla $t_1=t_2$, co na okręgu jednostkowym (w pierwszej ćwiartce) oznacza równe $\frac{\sqrt{2}}{2}$. Hihi, a rozumieć, że zadanie nie wymagało armaty i 170 stron Rzymkowskiego, a tylko wiedzy licealnej, to rzecz niestety nie do nauczenia z książki.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj