logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Algebra, zadanie nr 4885

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

bambinko
postów: 186
2016-10-21 09:14:16

Oblicz wartości podanych wyrażeń, wynik podaj w postaci algebraicznej:

$(cos \frac{\pi}{4} - i sin \frac{\pi}{4}) ^10 $

$(\frac{\sqrt{2}}{2} - i\frac{\sqrt{2}}{2})^10 = (\frac{\sqrt{2}}{2} , -\frac{\sqrt{2}}{2}) $

$z^2 = |z| [cos (n\epsilon) + i sin( n\epsilon)]$

$|z|=1$
$cos\epsilon= \frac{\sqrt{2}}{2} sin\epsilon=-\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\epsilon= \frac{7}{4}\pi$
do tej pory zgadza się?


tumor
postów: 8070
2016-10-21 09:27:05

Tak wydaje mi się szybciej:
Z liceum znasz wzory redukcyjne
$cos(-x)=cosx$
$sin(-x)=-sinx$

Zatem
$cos\frac{\pi}{4}-isin\frac{\pi}{4}=
cos\frac{-\pi}{4}+isin\frac{-\pi}{4}=
cos\frac{7\pi}{4}+isin\frac{7\pi}{4}$




bambinko
postów: 186
2016-10-21 09:33:53

tak, super, dziekuje!

$z^10= 1^10 [cos (10 * \frac{7\pi}{4}) + isin (10 * \frac{7\pi}{4})]$

$z^10 = cos 17\frac{1}{2}\pi + i sin 17\frac{1}{2}\pi$

i co dalej moglabym zrobic?


tumor
postów: 8070
2016-10-21 10:17:17

Zredukować pełne okresy. Funkcje sin i cos mają okres podstawowy $2\pi$, zatem zawsze można zmienić kąt o wielokrotność $2\pi$

$cos\frac{35}{2}\pi=cos\frac{31}{2}\pi=...=cos\frac{3}{2}\pi$
tak samo sinus

Natomiast wynik ma być w postaci algebraicznej, czyli na koniec zamiast pisać $cos\frac{3}{2}\pi$ podstaw za tę liczbę wartość.


bambinko
postów: 186
2016-10-21 10:34:37

$z^10=cos \frac{3}{2} + i sin \frac{3}{2}$
$\frac{3}{2}\pi=\pi+\frac{\pi}{2}$
cw 3

$cos(\pi+\frac{\pi}{2}=- cos\frac{\pi}{2}=0 $
$sin (\pi+\frac{\pi}{2})= -1$

$z^10 = 1^10 (0-1) = 1-1=0 $
zgadza się?


tumor
postów: 8070
2016-10-21 11:03:28

Nie. Masz kłopoty z pamiętaniem o przepisaniu "i" oraz mnożeniem przez 1.


bambinko
postów: 186
2016-10-21 11:28:03

$z^10= -1 $

no tak :(


tumor
postów: 8070
2016-10-21 11:37:11

wciąż masz kłopoty z pamiętaniem "i"

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt   drukuj