logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Analiza matematyczna, zadanie nr 4891

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

panmatematyk
postów: 6
2016-10-22 15:50:21

Czy funkcja jest ciagla?

f(x,y)=$\frac{|x|+xy+|y|}{|x|+|y|} dla (x,y)\neq(0,0) $

I 1 dla (x,y)=(0,0)


tumor
postów: 8070
2016-10-22 15:56:39

poza (0,0) oczywiście jest ciągła jako suma/iloczyn funkcji ciągłych.

Żeby sprawdzić w (0,0) liczymy granicę dla $(x,y) \to (0,0)$ z $f(x,y)$

Nie umiesz policzyć
$\lim_{(x,y) \to (0,0)}(1+\frac{xy}{|x|+|y|})$?


panmatematyk
postów: 6
2016-10-22 17:03:59

No właśnie nie, bo nie wiem co zrobić z modułami.


tumor
postów: 8070
2016-10-22 17:18:43

Nic. Mianownik jest po prostu zawsze dodatni.

$-1\le \frac{x}{|x|+|y|} \le 1$
wobec czego jeśli $-\epsilon < y <\epsilon$, to

$-\epsilon \le \frac{xy}{|x|+|y|} \le \epsilon$

---

Lub też korzystając z innych znanych granic, ten przykład się praktycznie nie różni od $\lim_{(x,y) \to (0,0)}\frac{x^2y^2}{x^2+y^2}$ niczym poza znakiem, a znak nie jest dla tej granicy istotny.


panmatematyk
postów: 6
2016-10-22 17:26:06

Czyli, nasz funkcja nie jest ciagla, bo nie ma granicy?


tumor
postów: 8070
2016-10-22 17:37:13

Poważnie? Mnie wyszło, że jest ciągła, bo granica jest równa wartości funkcji w tym punkcie. :)


janusz78
postów: 820
2016-10-22 19:53:35


Oznaczmy funkcję

$ g(x,y) = \frac{xy}{|x|+|y|}.$

Aby stwierdzić czy funkcja $ g $ jest ciągła w punkcie $ (0,0)$ musimy obliczyć granice:

$ lim_{x\to 0}\lim_{y\to 0} g(x,y), \lim_{y\to 0}\lim_{x\to 0} g(x,y), \ \ lim_{(x,y)\to 0} g(x,y).$

$\lim_{x\to 0}\lim_{y\to 0} g(x, y):$

Wybieramy na płaszczyźnie ciąg $ (x, y_{n})$ zbieżny do punktu $ (x, 0).$

Zachodzi więc $ lim_{n\to \infty} y_{n} = 0 $ i zakładamy dodatkowo, że $ y_{n} \neq 0.$

Zgodnie z definicją Heinego granicy funkcji w punkcie

$\lim_{n\to \infty} g(x, y_{n}) = \lim_{n\to \infty} \frac{xy_{n}}{|x| + |y_{n}|}.$.

Jeśli, $ x $ stale jest równe 0, to granica ta jest równa $ 0. $

Jeśli natomiast $ x\neq 0, $ to musimy wykonać oszacowanie

$ \left | \frac{xy_{n}}{|x|+ |y_{n}|}\right| < \left | \frac{xy_{n}}{x} \right| = |y_{n}| \rightarrow 0, $ gdy $ n \rightarrow \infty. $

Niezależnie od wartości $ x $ mamy więc $ \lim_{y\to 0} g(x,y) = 0.$

Skąd wynika, że $ \lim_{x\to 0}\lim_{y\to 0} g(x,y) = 0.$

$ lim_{y\to 0}\lim_{x\to 0}g(x,y):$

Drugą z granic iterowanych obliczamy w podobny sposób.

Tym razem najpierw musimy wykonać granicę po $ x, $ traktując y jako parametr.

Ciąg punktów płaszczyzny zbieżny do punktu $ (0, y) $ będzie więc miał postać $ (x_{n}, y), $
przy czym $ \lim_{n \to \infty} x_{n} = 0 $ oraz
$ x_{n}\neq 0.$.

Oczywiście zachodzi równość $ g(x_{n}, 0) = 0,$ więc wystarczy skoncentrować się na przypadku $y \neq 0.$

Mamy wówczas oszacowanie:

$0 < \left| \frac{x_{n} y}{|x_{n}| + |y|} \right|< \left|\frac{ x_{n}y}{y} \right| = |x_{n}| \rightarrow 0, $ gdy $ n\rightarrow \infty.$

W efekcie otrzymujemy

$\lim_{x\to 0} g(x,y) = 0 \rightarrow lim_{y\to 0}\lim_{x\to 0}g(x,y) = 0.$

Co oznacza, że obie granice iterowane są równe $ 0.$


Teraz obliczamy trzecią granicę:

$ \lim_{(x,y)\to (0, 0)} g(x,y). $

Wybieramy taki ciąg punktów o współrzędnych $ (x_{n}, y_{n}), $ dla którego $ y_{n} = ax_{n}, a\neq 0.$

Jeśli $ \lim_{n\to \infty} x_{n} = 0 $ i $ x_{n}\neq 0, $ to automatycznie $ \lim_{n\to \infty}(x_{n}, y_{n}) = (0, 0).$

Obliczmy

$g(x_{n}, y_{n}) = \frac{ax^2_{n}}{|x_{n}|+ |ax_{n}|}= \frac{ax^2_{n}}{|x_{n}|(1 + a)} = \frac{ax_{n}}{1 +|a|} \rightarrow 0 $, gdy $ n\rightarrow \infty. $

Otrzymany wynik nie zależy od $ a, $ czyli od wyboru kierunku prostej, po której zbiegamy od początku układu.

Oznacza to, granica $ \lim_{(x,y)\to (0,0)} g(x,y) = 0.$

Zatem funkcja $ f(x, y) = 1 + g(x,y) $ jest ciągła w punkcie $ (0, 0).$

Patrz metodyka rozwiązania podobnych zadań

Tomasz Radożycki. Rozwiązujemy zadania z Analizy Matematycznej część II, strony 117 - 125. Wydawnictwo Oświatowe FOSZE. Rzeszów 2013.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt   drukuj