Analiza matematyczna, zadanie nr 4891
ostatnie wiadomości | regulamin | latex
Autor | Zadanie / Rozwiązanie |
panmatematyk postów: 6 | 2016-10-22 15:50:21 Czy funkcja jest ciagla? f(x,y)=$\frac{|x|+xy+|y|}{|x|+|y|} dla (x,y)\neq(0,0) $ I 1 dla (x,y)=(0,0) |
tumor postów: 8070 | 2016-10-22 15:56:39 poza (0,0) oczywiście jest ciągła jako suma/iloczyn funkcji ciągłych. Żeby sprawdzić w (0,0) liczymy granicę dla $(x,y) \to (0,0)$ z $f(x,y)$ Nie umiesz policzyć $\lim_{(x,y) \to (0,0)}(1+\frac{xy}{|x|+|y|})$? |
panmatematyk postów: 6 | 2016-10-22 17:03:59 No właśnie nie, bo nie wiem co zrobić z modułami. |
tumor postów: 8070 | 2016-10-22 17:18:43 Nic. Mianownik jest po prostu zawsze dodatni. $-1\le \frac{x}{|x|+|y|} \le 1$ wobec czego jeśli $-\epsilon < y <\epsilon$, to $-\epsilon \le \frac{xy}{|x|+|y|} \le \epsilon$ --- Lub też korzystając z innych znanych granic, ten przykład się praktycznie nie różni od $\lim_{(x,y) \to (0,0)}\frac{x^2y^2}{x^2+y^2}$ niczym poza znakiem, a znak nie jest dla tej granicy istotny. |
panmatematyk postów: 6 | 2016-10-22 17:26:06 Czyli, nasz funkcja nie jest ciagla, bo nie ma granicy? |
tumor postów: 8070 | 2016-10-22 17:37:13 Poważnie? Mnie wyszło, że jest ciągła, bo granica jest równa wartości funkcji w tym punkcie. :) |
janusz78 postów: 820 | 2016-10-22 19:53:35 Oznaczmy funkcję $ g(x,y) = \frac{xy}{|x|+|y|}.$ Aby stwierdzić czy funkcja $ g $ jest ciągła w punkcie $ (0,0)$ musimy obliczyć granice: $ lim_{x\to 0}\lim_{y\to 0} g(x,y), \lim_{y\to 0}\lim_{x\to 0} g(x,y), \ \ lim_{(x,y)\to 0} g(x,y).$ $\lim_{x\to 0}\lim_{y\to 0} g(x, y):$ Wybieramy na płaszczyźnie ciąg $ (x, y_{n})$ zbieżny do punktu $ (x, 0).$ Zachodzi więc $ lim_{n\to \infty} y_{n} = 0 $ i zakładamy dodatkowo, że $ y_{n} \neq 0.$ Zgodnie z definicją Heinego granicy funkcji w punkcie $\lim_{n\to \infty} g(x, y_{n}) = \lim_{n\to \infty} \frac{xy_{n}}{|x| + |y_{n}|}.$. Jeśli, $ x $ stale jest równe 0, to granica ta jest równa $ 0. $ Jeśli natomiast $ x\neq 0, $ to musimy wykonać oszacowanie $ \left | \frac{xy_{n}}{|x|+ |y_{n}|}\right| < \left | \frac{xy_{n}}{x} \right| = |y_{n}| \rightarrow 0, $ gdy $ n \rightarrow \infty. $ Niezależnie od wartości $ x $ mamy więc $ \lim_{y\to 0} g(x,y) = 0.$ Skąd wynika, że $ \lim_{x\to 0}\lim_{y\to 0} g(x,y) = 0.$ $ lim_{y\to 0}\lim_{x\to 0}g(x,y):$ Drugą z granic iterowanych obliczamy w podobny sposób. Tym razem najpierw musimy wykonać granicę po $ x, $ traktując y jako parametr. Ciąg punktów płaszczyzny zbieżny do punktu $ (0, y) $ będzie więc miał postać $ (x_{n}, y), $ przy czym $ \lim_{n \to \infty} x_{n} = 0 $ oraz $ x_{n}\neq 0.$. Oczywiście zachodzi równość $ g(x_{n}, 0) = 0,$ więc wystarczy skoncentrować się na przypadku $y \neq 0.$ Mamy wówczas oszacowanie: $0 < \left| \frac{x_{n} y}{|x_{n}| + |y|} \right|< \left|\frac{ x_{n}y}{y} \right| = |x_{n}| \rightarrow 0, $ gdy $ n\rightarrow \infty.$ W efekcie otrzymujemy $\lim_{x\to 0} g(x,y) = 0 \rightarrow lim_{y\to 0}\lim_{x\to 0}g(x,y) = 0.$ Co oznacza, że obie granice iterowane są równe $ 0.$ Teraz obliczamy trzecią granicę: $ \lim_{(x,y)\to (0, 0)} g(x,y). $ Wybieramy taki ciąg punktów o współrzędnych $ (x_{n}, y_{n}), $ dla którego $ y_{n} = ax_{n}, a\neq 0.$ Jeśli $ \lim_{n\to \infty} x_{n} = 0 $ i $ x_{n}\neq 0, $ to automatycznie $ \lim_{n\to \infty}(x_{n}, y_{n}) = (0, 0).$ Obliczmy $g(x_{n}, y_{n}) = \frac{ax^2_{n}}{|x_{n}|+ |ax_{n}|}= \frac{ax^2_{n}}{|x_{n}|(1 + a)} = \frac{ax_{n}}{1 +|a|} \rightarrow 0 $, gdy $ n\rightarrow \infty. $ Otrzymany wynik nie zależy od $ a, $ czyli od wyboru kierunku prostej, po której zbiegamy od początku układu. Oznacza to, granica $ \lim_{(x,y)\to (0,0)} g(x,y) = 0.$ Zatem funkcja $ f(x, y) = 1 + g(x,y) $ jest ciągła w punkcie $ (0, 0).$ Patrz metodyka rozwiązania podobnych zadań Tomasz Radożycki. Rozwiązujemy zadania z Analizy Matematycznej część II, strony 117 - 125. Wydawnictwo Oświatowe FOSZE. Rzeszów 2013. |
strony: 1 |
Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj