Analiza matematyczna, zadanie nr 4893

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
mate_matykaa postów: 117	2016-10-22 17:42:19 wykaż że ciąg $f_{n}$(x)=nx(1-$x)^{n}$ jest niejednostajnie zbieżny w [0,1], ale $\lim_{n \to \infty}$ $\int_{0}^{1}$$f_{n}$(x)dx=$\int_{0}^{1}$ $\lim_{n \to \infty }$$f_{n}$(x)dx. czyli pierwsze i tak musze obliczyc zbieznosc punktową zeby znalezc f(x) ? i potem liczyc sup\|$f_{n}$(x)-f(x)\|, i potem to co pod wartoscią bezwzględna przyrównać do 0, wyliczyc x i podłozyc potem $f_{n}$(od tego x co wyjdzie) i musi wyjsc różne od 0 zeby było niejednostajne?? I tak: mam problem z obliczeniem granicy w tej poczatkowej zbieznosci punktowej;/ moge sobie to zapisac jako: lim (nx)* lim(1-x)^n ? i dalej i tak nie wiem co robic.. Wiadomość była modyfikowana 2016-10-22 18:05:42 przez tumor

mate_matykaa postów: 117	2016-10-22 17:43:05 ,,ale $\lim_{n \to \infty}$ ma być i w tymm drugim to samo

tumor postów: 8070	2016-10-22 18:05:00 Jeśli granica supremów $\|f_n-f\|$ nie jest równa 0 (czyli: nie istnieje albo nie wynosi 0), to nie ma jednostajnej zbieżności. Przy tym istnieją też inne możliwości wykluczające jednostajną zbieżność: na przykład gdy granica ciągu funkcji ciągłych nie jest ciągła, to na pewno zbieżność nie jest jednostajna. Proponuję jednak metodę z supremum. Dla policzenia zbieżności punktowej przede wszystkim myśl. Jeśli x=0 to co się stanie? Jeśli x=1 to co się stanie? Jeśli x jest jakimś ułamkiem z (0,1), to do czego jest zbieżny $x^n$? A do czego jest zbieżny $(1-x)^n$? A do czego jest zbieżny $n(1-x)^n$? A do czego $nx(1-x)^n$? (Przy tym proponuję, przećwicz DOKŁADNE uzasadnianie tych faktów, o które pytam. Zajmie to oczywiście trochę czasu, ale jak się nauczysz pewnej ścisłości rozumowań, to potem będzie łatwiej)

mate_matykaa postów: 117	2016-10-22 19:04:31 gdy x=0 to granica do zera gdy x=1 to granica do zera, a gdy ułamek to w zasadzie chyba tez do zera, bo x^n do 0, (1-x)^n tez do 0, czyli tamte tez do 0?, wiec ta granica jest=0 czyli f(x)=0 sup\|nx(1-x)^n- 0\| liczyc pochodną: (nx(1-x)^n)`=n(1-$x)^{n}$+nxn(1-$x)^{n-1}$ =n(1-$x)^{n-1}$(1-x+nx) n(1-$x)^{n-1}$=0 , 1-x+nx=0 (1-$x)^{n-1}$=0 ,nx-x=-1 1-x=0 x(n-1)=-1 x=1 x=-1/(n-1) $f_{n}$(1)=0 $f_{n}$(-1/(n-1))=...=-($\frac{n}{n-1}$)($\frac{n}{n-1}$) do potegi n = -($\frac{n}{n-1}$) do potegi n+1 ? i co dalej?

tumor postów: 8070	2016-10-22 20:09:55 "chyba" nie jest argumentem. Jeśli a jest ułamkiem z (0,1), to $a^n$ maleje do 0, natomiast n rośnie do nieskończoności. Musisz umieć uzasadnić, że ciąg na^n maleje do 0 (tak właśnie jest). Wobec tego pomnożenie całości przez jeszcze jakiś ułamek mniejszy od 1 granicy nie zmienia, zatem $n(1-x)^n \to 0$ oraz $nx(1-x)^n \to 0$. Granicą punktową jest zatem $f(x)=0.$ Nieco błędnie liczysz pochodną (nie mnożysz przez (-1) będący pochodną funkcji wewnętrznej) przez to $x_2$ wychodzi poza przedziałem [0,1] i by nas nie interesował. Właściwe maksimum będzie w tym przedziale. Jeśli już policzysz właściwy $x_2$ to pokaż, że $f_n(x_2)$ dla $n\to \infty$ nie ma granicy 0. Jeśli będzie widać np, że to liczba zawsze większa od 0,1, to oczywiście nie będzie mieć granicy 0. Możesz też wykazać, że tą granicą jest po prostu inna liczba, na przykład $\frac{1}{e}$, to by załatwiło sprawę.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj