Analiza matematyczna, zadanie nr 4912

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
pm12 postów: 493	2016-10-31 21:15:06 Wykazać, że dla dowolnego ustalonego k $\in$N oraz dla dowolnego ciągu $a_{n}$ takiego że $a_{n}$$\ge$0 dla dostatecznie dużych n naturalnych, zachodzi implikacja : $\lim_{n \to \infty}$ $a_{n}$ = g $\Rightarrow$ $\lim_{n \to \infty}$ $\sqrt[k]{a_{n}}$ = g.

tumor postów: 8070	2016-10-31 21:35:54 jeśli już, to $\sqrt[k]{g}$ Niech $b_n=\sqrt[k]{a_n}$ (przy tym olewamy ujemne $a_n$, jeśli takie na początku są, dla rozważania granic nie mają znaczenia). Żeby pokazać, że $b_n$ jest ciągiem zbieżnym możemy użyć warunku Cauchy'ego. Gdyby $b_n$ nie był Cauchy'ego, to istniałby $\epsilon>0$ taki, że dla każdego $n_0$ naturalnego znajdziemy $m_1, m_2$ naturalne większe od $n_0$, że $b_{m_1}-b_{m_2}>\epsilon$ Wówczas $a_{m_1}=(b_{m_1})^k> (b_{m_2}+\epsilon)^k>b_{m_2}^k+\epsilon^k=a_{m_2}+\epsilon^k$ czyli $a_{m_1}>a_{m_2}+\epsilon^k$ co przeczy zbieżności ciągu $a_n$. Niech granicą $b_n$ jest $b$. Granicą $b_n^k$ jest $b^k=g$, wobec tego, skoro ciągi od pewnego miejsca nieujemne i granice nieujemne, musi być $b=\sqrt[k]{g}$

pm12 postów: 493	2016-10-31 21:56:33 Oczywiście, pomyliłem się.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj