Analiza matematyczna, zadanie nr 4913

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
tomek987 postów: 103	2016-11-01 08:08:36 Jaki można podać przykład funkcji $f$, która ma w punkcie $a$ wszystkie pochodne kierunkowe, w kierunku dowolnego wektora $v\neq0$, funkcja $v \mapsto D_{v}f(a)$ jest liniowa i $f$ jest ciągła w punkcie $a$, ale nie jest w $a$ różniczkowalna?

janusz78 postów: 820	2016-11-01 11:54:15 Na przykład dla $ a = (x,y) = (0,0) $ funkcja $f : R^2 \rightarrow R $ dana wzorem: $ f(x,y)= \left\{\begin{matrix} x + y + \frac{x^3y}{x^{4}+y^{2}} \ \ \mbox{dla} \ \ x^2 + y^2 \neq 0, \\ 0 \ \ \mbox{dla} \ \ x^2 + y^2 = 0. \end{matrix} \right.$ Funkcja różniczkowalna w sensie słabym (Gateux), a nie różniczkowalna w sensie mocnym (Frecheta). Patrz na przykład Tomasz Szapiro Analiza Matematyczna Twierdzenia i zadania Wydanie II. Strona 114-116. SGPiS Warszawa 1977. Wiadomość była modyfikowana 2016-11-01 11:58:59 przez janusz78

tomek987 postów: 103	2016-11-01 18:58:28 Niestety nie umiem pokazać, ze ta funkcja jest ciągła w $(0,0)$. Próbowałem przejść na biegunowe, ale też nie dałem rady. Mógłbyś mi to rozpisać?

tumor postów: 8070	2016-11-01 19:56:13 Nie budzi chyba wątpliwości stwierdzenie $x^4-2x^2\|y\|+y^2\ge 0$ czyli $x^4+y^2\ge 2x^2\|y\| \ge 0$ $1 \ge \frac{2x^2\|y\|}{x^4+y^2} \ge 0$ $\frac{1}{2}\|x\| \ge \frac{\|x\|^3\|y\|}{x^4+y^2} \ge 0$

janusz78 postów: 820	2016-11-01 20:17:34 Lub wykorzystując nierówność: $(x^2 -\|y\|)^2\geq 0 \rightarrow 2x^2\|y\|\leq x^4 +y^2, $ łatwo stwierdzić, że $\left \| \frac{x^2y}{x^4+y^2}\right\|\leq \frac{1}{2}.$ Stąd można uzyskać potrzebne nam oszacowanie: $0\leq \left\|x +y +\frac{x^3y}{x^4 +y^2}\right\| \leq \|x\|+ \|y\|+ \left\| \frac{x^3y}{x^4 +y^2}\right\| \leq \|x\| +\|y\| +\frac{1}{2}\|x\|= \frac{3}{2}\|x\| +\|y\|.$ Wynika z niego, że jeśli $ (x,y)\rightarrow (0,0),$ to także $ f(x, y) \rightarrow 0 = f(0,0),$ czyli funkcja $ f $ jest ciągła w punkcie $ (0, 0).$

tomek987 postów: 103	2016-11-01 22:09:18 Bardzo dziękuję, super wytłumaczone!

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj