Rachunek różniczkowy i całkowy, zadanie nr 4916

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
chudek postów: 39	2016-11-01 12:19:05 Witam, zadanie brzmi: Znaleźć oryginał transformaty: $F(s)=\frac{1}{s^{3}\cdot(s^{2}+4)}$ Zadanie chciałbym rozwiązać metodą residuów, ale korzystając z wzoru na residuum funkcji $F(s)e^{st}$ w biegunie $s_{k}$ o krotności $i$: $\lim_{s \to s_{k}}(\frac{1}{(i-1)!}(\frac{d^{i-1}}{ds^{i-1}}(F(s)(s-s_{k})^{i}e^{st}))) $ zostaje wplątany w koszmarne dla studenta Automatyki i Robotyki, a nie Matematyki, obliczenia. Jak to liczyć?

janusz78 postów: 820	2016-11-01 23:35:05 Ze wzoru, który podałeś i definicji residuum wynika, że funkcja oryginału: $ f(t) = L^{-1}(F(s))= \sum ($ residuów dla każdego z biegunów funkcji $ e^{st}F(s)).$ Twoja transformata zawiera zerowy biegun potrójny i dwa bieguny sprzężone - pojedyńcze $\pm 2j.$ $ Res\left [\frac{e^{st}}{(s-0)^3\cdot (s- 2j)\cdot (s+2j)}, s =0^3, -2j, 2j \right].$ Obliczamy residua dla każdego z biegunów oddzielnie. Biegun trzykrotny (potrójny) $ s= 0:$ $Res_{s=0^3} = \lim_{s\to 0} \frac{1}{2}\left [\frac{1}{s^2+4}e^{st}\right]^{"} = \lim_{s\to 0} \frac{1}{2}\left[\frac{[(s^4 +8s^2 +16)t^2 +6s^2 - 4(s^3+4s)t-8]e^{st}}{s^6 +12s^4 +48s^2 +64}\right] = \frac{16}{128}t^2 -\frac{8}{64} = \frac{1}{8}t^2 -\frac{1}{16}= \frac{1}{16}(2t^2- 1) $ Biegun jednokrotny: $ s = -2j:$ $ Res_{s =-2j}= \lim_{s\to -2j}\frac{e^{st}}{s^3(s-2j)}= \frac{1}{32}e^{-j2t}.$ Biegun jednokrotny: $ s = 2j:$ $ Res_{s=2j}= \lim_{s\to 2j}\frac{e^{st}}{s^3(s+2j)}= \frac{1}{32}e^{j2t}.$ Stąd: $ f(t)= \frac{1}{16}(2t^2-1) + \frac{1}{32}e^{j2t} -\frac{1}{32}e^{-j2t} = \frac{1}{16}(2t^2-1) +\frac{1}{16}\cdot \frac{e^{2tj} + e^{-2tj}}{2} = \frac{1}{16}(2t^2-1) +\frac{1}{16}\cos(2t).$ Sprawdzenie obliczeń w programie Matlab: >> syms s t >> F = 1/(s^3(s^2+4)) F = 1/(s^3(s^2 + 4)) >> ilaplace(F, t) ans = cos(2*t)/16 + t^2/8 - 1/16 Proponuję zapoznać się z podręcznikiem: Włodzimierz Greblicki Teoretyczne Podstawy Automatyki. Strony 208-219 Oficyna Wydawnicza Politechniki Wrocławskiej. Wrocław 2001.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj