Analiza matematyczna, zadanie nr 4929

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
tomek987 postów: 103	2016-11-05 08:29:14 Dana jest powierzchnia: ${(x,y,z): \sqrt{x} + \sqrt{y}+ \sqrt{z}= \sqrt{a}}$ dla pewnego $a>0$. Udowodnić, że płaszczyzny, które są styczne do danej powierzchni odcinają na osiach układu odcinki, których suma długości jest stała. Zapewne trzeba użyć tutaj gradientu, ale nie bardzo wiem jak.

janusz78 postów: 820	2016-11-05 11:47:42 Znajdujemy równanie płaszczyzny stycznej do powierzchni w punkcie $ P_{0}= (x_{0}, y_{0}, z_{0}).$ $\pi: \vec{(P - P_{0})}\cdot \vec{N} = 0.$ gdzie: $ P_{0}= (x_{0}, y_{0},f(x_{0}, y_{0})).$ $P = (x , y,f(x, y))$ $\vec{N} = (-f_{\|x}(x_{0},y_{0}), - f_{\|y}(x_{0},y_{0}), 1)$ Obliczamy współrzędne punktów przecięcia się płaszczyzny $\pi$ z osiami kartezjańskiego układu współrzędnych $ Oxyz:$ $ P_{x}=(x,0,0), P_{y}= (0,y,0), P_{z}= (0,0,z).$ Pokazujemy, że suma odcinków: $S =\overline{OP_{x}}+ \overline{OP_{y}} + \overline{OP_{z}}$ nie zależy od $ x,y,z$ tylko od ustalonego punku $ P_{0} = (x_{0}, y_{0}, z_{0}).$ Wiadomość była modyfikowana 2016-11-05 11:49:35 przez janusz78

tomek987 postów: 103	2016-11-06 11:01:26 A czym jest $O$ w $\vec{OP_{x}}$

tomek987 postów: 103	2016-11-06 11:20:11 Napisze jak ja zacząłem to robić i do czego doszedłem: $P_{0}=(\sqrt{x_{0}},\sqrt{y_{0}},\sqrt{z_{0}})$ takie, że $P_{0}\in$ płaszczyzny danej w zadaniu. (grad f)=[$\frac{1}{2\sqrt{x}},\frac{1}{2\sqrt{y}}, \frac{1}{2\sqrt{z}} $] (grad f)($P_{0}$)= [$\frac{1}{2x_{0}^{\frac{1}{4}}}, \frac{1}{2y_{0}^{\frac{1}{4}}}, \frac{1}{2z_{0}^{\frac{1}{4}}}$] $\pi= \frac{x}{2x_{0}^{\frac{1}{4}}}+\frac{y}{2y_{0}^{\frac{1}{4}}}+\frac{z}{2z_{0}^{\frac{1}{4}}}= \frac{\sqrt{x_{0}}}{2x_{0}^{\frac{1}{4}}}+\frac{\sqrt{y_{0}}}{2y_{0}^{\frac{1}{4}}}+\frac{\sqrt{z_{0}}}{2z_{0}^{\frac{1}{4}}}$ $\pi=\frac{x}{2x_{0}^{\frac{1}{4}}}+\frac{y}{2y_{0}^{\frac{1}{4}}}+\frac{z}{2z_{0}^{\frac{1}{4}}}= \frac{x_{0}^{\frac{1}{4}}}{2}+\frac{y_{0}^{\frac{1}{4}}}{2}+\frac{z_{0}^{\frac{1}{4}}}{2}$ Teraz, żeby znaleźć punkt wspólny tej płaszczyzny $\pi$ z osią OX pod x normalnie x, pod y podstawiam 0 i pod z też 0. Potem analogicznie robię tak dla punktów wspólnych z osią OY i OZ. I co dalej? Czy tak jak zrobiłem do tej pory jest dobrze?

janusz78 postów: 820	2016-11-06 12:40:39 Znajdujemy współrzędne wektora normalnego do płaszczyzny (nie gradientu) w punkcie $ P_{0}:$ $ \vec{N} = \left[ -\frac{1}{2\sqrt{x_{0}}}, -\frac{1}{2\sqrt{y_{0}}}, 1 \right].$ Równanie płaszczyzny stycznej w punkcie $ P_{0}$ do powierzchni: $\pi: \ \ z = \sqrt{x_{0}} + \sqrt{y_{0}}+ \sqrt{z_{0}}- \sqrt{a}+ \frac{1}{2\sqrt{x_{0}}}(x-x_{0}) + \frac{1}{2\sqrt{y_{0}}}(y-y_{0}) $ (1) Podstawiamy do równania (1) współrzędne punktów przecięcia się płaszczyzny $\pi $ z osiami prostokątnego układu współrzędnych $ Oxyz.$ Otrzymujemy: $Ox:$ $ 0 = \sqrt{x_{0}} + \sqrt{y_{0}}+ \sqrt{z_{0}}- \sqrt{a}+ \frac{1}{2\sqrt{x_{0}}}(x-x_{0}) + \frac{1}{2\sqrt{y_{0}}}(-y_{0}) $ (2) $ Oy:$ $ 0 = \sqrt{x_{0}} + \sqrt{y_{0}}+ \sqrt{z_{0}}- \sqrt{a}+ \frac{1}{2\sqrt{x_{0}}}(-x_{0}) + \frac{1}{2\sqrt{y_{0}}}(y -y_{0}) $ (3) $ Oz: $ $ z = \sqrt{x_{0}} + \sqrt{y_{0}}+ \sqrt{z_{0}}- \sqrt{a}+ \frac{1}{2\sqrt{x_{0}}}(-x_{0}) + \frac{1}{2\sqrt{y_{0}}}(-y_{0}) $ (4) Z równań (2), (3) wyznaczamy odpowiednio $ x, y$ Obliczamy współrzędne odcinków: $\overline{OP_{x}} = [(x,0,0)-(0,0,0)]= [x,0,0]$ (4) $\overline{OP_{y}} = [(0,y,0)-(0,0,0)]= [0,y,0]$ (5) $\overline{OP_{z}} = [(0,0, z)-(0,0,0)]= [0,0,z]$(6) Dodajemy równania (4), (5), (6) stronami. Zauważamy, że ich suma zależy tylko od punktu $ P_{0}=(x_{0}, y_{0}, z_{0}),$ a nie zależy od $ x, y, z.$ Co mieliśmy udowodnić. Proponuję podobne zadania z książki: Stanisław Fudali, Mieczysław Kłeczek Matematyka w przykładach i zadaniach. Strony 320-326. Wydawnictwo Uniwersytetu Szczecińskiego. Szczecin 2001.

tomek987 postów: 103	2016-11-06 13:24:39 Dziękuję :)

tomek987 postów: 103	2016-11-11 08:25:52 Czy zadanie to można rozwiązać w ten sposób: Biorę punkt $P(x_{0},y_{0},z_{0})$ liczę gradient i płaszczyzna styczna ma w tym przypadku takie równanie: $\pi= \frac{x}{2\sqrt{x_{0}}}+\frac{y}{2\sqrt{y_{0}}}+\frac{z}{2\sqrt{z_{0}}}=\frac{\sqrt{x_{0}}}{2}+\frac{\sqrt{y_{0}}}{2}+\frac{\sqrt{z_{0}}}{2}$ Czyli $\pi= \frac{x}{\sqrt{x_{0}}}+\frac{y}{\sqrt{y_{0}}}+\frac{z}{\sqrt{z_{0}}}=\sqrt{a}$ Biorę współrzędne przecięcia płaszczyzny stycznej z osiami układu współrzędnych: $OX: \frac{x}{\sqrt{x_{0}}}=\sqrt{a}$ $OY: \frac{y}{\sqrt{y_{0}}}=\sqrt{a}$ $OX: \frac{z}{\sqrt{z_{0}}}=\sqrt{a}$ Czyli $OP_{x}=\sqrt{x_{0}a}$ $OP_{y}=\sqrt{y_{0}a}$ $OP_{z}=\sqrt{z_{0}a}$ Czyli suma ich długości to po prostu $a$? Czy takie rozwiązanie jest poprawne? Jeśli tak to czemu w moim rozwiązaniu i Twoim wychodzi inny wynik? Bardzo prosiłbym o wyjaśnienie, bo chciałbym to zrozumieć. Płaszczyzny styczne to ważny temat, z góry dziękuję

janusz78 postów: 820	2016-11-11 18:54:35 Skąd takie równanie płaszczyzny stycznej? $\pi = ...$

tomek987 postów: 103	2016-11-11 19:15:01 Obliczyłem tak: $(grad f)=[\frac{1}{\sqrt{x}},\frac{1}{\sqrt{y}},\frac{1}{\sqrt{z}}] $ Podstawiam pod gradient punkt P. Następnie tworzę równanie, płaszczyzny stycznej, w którym współczynniki przy x,y,z to są te wartości gradientu w punkcie P. Po prawej stronie jest punkt, który należy do tej płaszczyzny, czyli pod x,y,z podstawiłem punkt P. Tak przynajmniej liczyliśmy na zajęciach powierzchnię styczną

janusz78 postów: 820	2016-11-11 20:15:03 Otrzymujemy takie same równanie. Prawa strona równania jest iloczynem skalarnym gradientu w punkcie $ P_{0}$ i tego punktu, tak jak strona lewa wektora wodzącego dowolnego punktu $P(x,y,z)$ i wektora gradientu w tym punkcie. Dlatego Twoje równanie powinno wyglądać następująco: $ \pi: \frac{x}{2\sqrt{x_{0}}} + \frac{y}{2\sqrt{y_{0}}}+ \frac{z}{2\sqrt{z_{0}}} = \frac{1}{2\sqrt{x_{0}}}x_{0}+ \frac{1}{2\sqrt{y_{0}}}y_{0} + \frac{1}{2\sqrt{z_{0}}}z_{0}+\sqrt{a}$ Po przeniesieniu prawej strony na lewą i wyłączeniu wspólnych współczynników - otrzymujemy takie same równanie płaszczyzny stycznej (1). $ grad f(x, y, z)= \left[ \frac{1}{2\sqrt{x}}, \frac{1}{2\sqrt{y}}, \frac{1}{2\sqrt{z}}\right].$ Wiadomość była modyfikowana 2016-11-11 20:40:09 przez janusz78

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj