Analiza matematyczna, zadanie nr 4951
ostatnie wiadomości | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwiązanie |
| xaan postów: 14 |  2016-11-13 13:09:43Jak policzyć te granice normalnie? a) $\lim_{x \to 0} [ln(1+x)]^{x}$ b) $\lim_{x \to 1}x^{\frac{1}{1-x}}$ c) $\lim_{x \to \frac{\pi}{4}}(tgx)^{tg2x}$ d) $\lim_{x \to -\infty}\frac{x^{2}}{e^{x^{2}}}$ Wiadomość była modyfikowana 2016-11-13 13:10:53 przez xaan |
| tumor postów: 8070 | 2016-11-13 13:57:26 a to liczy się normalnie lub paranormalnie? d) dość wygodnie wprost z definicji. Wystarczy pokazać, że dla dość małych x (o dużej wartości bezwzględnej) zachodzi $cq^{|x|}x^2<e^{x^2}$ gdzie q jest pewną liczbą większą od 1, a c dodatnią stałą, która nic nie robi poza tym że można dzięki niej olać początkowe wyrazy ciągu. Weźmy dla przykładu x<-10. Zmniejszenie x o 1 powoduje, że licznik rośnie o czynnik mniejszy niż 1,3, natomiast mianownik rośnie o czynnik większy niż e. Wobec czego $q=\frac{e}{1,3}$ Tam jest jeszcze minimalna komplikacja różniąca ten przykład od przykładu ciągu (bo tu x jest dowolną liczbą rzeczywistą), ale nietrudno z niej wyjść. a) Symbole nieoznaczone w postaci potęgi załatwia się często tak: $f^g=e^{g*ln(f)}$ W tym przypadku zrobimy na przykład taki manewr: $\lim_{x \to 0}(\frac{ln(1+x)}{x})^x*x^x=$ $\lim_{x \to 0}(\frac{ln(1+x)}{x})^x*e^{xlnx}$ Pozostaje umieć policzyć granicę $\lim_{x \to 0}xlnx$, ona pozostaje w ścisłym związku z przykładem d) i można policzyć to wprost z definicji granicy. No i granica $\lim_{x \to 0}\frac{ln(x+1)}{x}$ powinna na zajęciach wcześniej być. Wiadomość była modyfikowana 2016-11-13 14:13:41 przez tumor |
| tumor postów: 8070 | 2016-11-13 14:12:16 b) podstawmy x=1+y Interesuje nas zatem granica $\lim_{y \to 0} (1+y)^\frac{1}{-y}$ Ona się powinna kojarzyć z pewną popularną w świecie liczbą, zapisywaną jako e. c) Po pierwsze rozpiszemy $e^{tg2x*ln(tgx)}$ po drugie liczymy granicę $\lim_{x \to \frac{\pi}{4}}tg2x*ln(tgx)= \lim_{x \to \frac{\pi}{4}}(\frac{2tgx}{1-tg^2x})*ln(tgx)$ a po trzecie podstawimy sobie $1+y=tgx$ $\lim_{y \to 0}\frac{2(1+y)}{(1-(1+y))(1+(1+y))}*ln(1+y)= \lim_{y \to 0}\frac{2(1+y)}{2+y}*\frac{ln(1+y)}{-y}$ |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj