logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Algebra, zadanie nr 4952

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

adamte
postów: 1
2016-11-14 13:21:25

1. Oblicz:

a) $(\frac{1}{\sqrt{2}}i - \frac{\sqrt{6}}{2})^{24}$

b) $\frac{(i-1)^6}{(-1-\sqrt{3}i)^8}$

c) $\sqrt[4]{\frac{-18}{\sqrt{3}i+1}}$

Wynik podaj w postaci algebraicznej.


2. Dana jest liczba zes. postaci $\frac{(1+\sqrt{3}i)^2(1-i)^3}{i+\sqrt{3}}$
Wyznacz:
a) moduł
b) sprzężenie
c) argument



tumor
postów: 8070
2016-11-14 15:07:00

1.
Możesz skorzystać z wzoru skróconego mnożenia, wynik będzie dobry. Jednakże wysokie potęgi liczy się czasem z wzoru de Moivre'a, gdy umiemy liczbę zespoloną zapisać jako

$|z|(cos\phi+isin\phi)$
to wówczas
$z^n=|z|^n(cos(n\phi)+isin(n\phi))$

Przykładowo

a) $= (\sqrt{2}(\frac{-\sqrt{3}}{2}+i\frac{1}{2}))^{24}=
(\sqrt{2}(cos(\frac{5}{6}\pi)+isin(\frac{5}{6}\pi))^{24}=$


c) pierwiastkuje się analogicznie, z tym że dość łatwo zauważyć, że niezerowa liczba zespolona ma n pierwiastków n-tego stopnia.
Jeśli znajdziesz jeden pierwiastek n-tego stopnia (najłatwiej podać ten z argumentem $\frac{\phi}{n}$), to pozostałe różnią się od niego o wielokrotności $\frac{2\pi}{n}$, wobec czego argumenty kolejnych pierwiastków to
$\frac{\phi+2k\pi}{n}$ dla $k=0,1,2,...,n-1$

---

2
Wymnóż. Żeby pozbyć się "i" z mianownika pomnóż licznik i mianownik przez $i-\sqrt{3}$ (analogicznie do usuwania niewymierności z mianownika w gimnazjum).

Moduł liczby a+bi to $\sqrt{a^2+b^2}$
sprzężenie to a-bi, a argument to kąt $\phi$ w tym zapisie w zadaniu 1.

Jeśli nie chcesz wymnażać, to możesz znaleźć oddzielnie moduł, sprzężenie i argument dla liczb zespolonych widocznych w tym działaniu.
Moduł iloczynu to iloczyn modułów.
Sprzężenie iloczynu to iloczyn sprzężeń.
Argument iloczynu to suma argumentów.

Wiadomość była modyfikowana 2016-11-14 15:15:48 przez tumor
strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt   drukuj