Analiza matematyczna, zadanie nr 4984

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
pm12 postów: 493	2016-11-20 20:54:51 Wykazać, że : $\forall_{n \in N}$ n$\cdot$($\sqrt[n]{2}-1$) > (n$+$1)($\sqrt[n+1]{2}$-1). W tym zadaniu 0 $\notin$ N.

tumor postów: 8070	2016-11-21 11:06:55 Pokażemy, że $\frac{1}{x}(2^x-1)$ jest funkcją rosnącą w przedziale (0,2). $ f(x)=\frac{1}{x}(2^x-1)$ $f`(x)=\frac{2^xxln2-2^x+1}{x^2}$ Pochodna jest dodatnia gdy $2^xxln2-2^x+1>0$ Niech $g(x)=2^xxln2-2^x+1$ wtedy g(0)=0 $g`(x)=x2^xln^22>0$, czyli g(x)>0 dla x>0, czyli f rosnąca w (0,2), czyli $f(\frac{1}{n})>f(\frac{1}{n+1})$

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj