Topologia, zadanie nr 5003

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
tomek987 postów: 103	2016-11-26 23:58:00 W przestrzeni funkcji ciągłych na przedziale [0,1] z metryką supremum rozpatrujemy zbiór A={f$\in C[0,1]$ $f(0)\le$ f(1/3)} Znajdź domknięcie zbioru A. Sprawdź zwartość K=A$\cap$ {f$\in$[0,1]: f([0,1])$\subset$[0,1]}.

tumor postów: 8070	2016-11-27 00:59:19 Weźmy jakąś funkcję f ciągłą na $[0,1]$, która nie spełnia warunku, czyli $f(0)>f(\frac{1}{3})$ i niech $r = \frac{1}{3}(f(0)-f(\frac{1}{3}))$ Wówczas jeśli g różni się od f o mniej niż r, to także $g(0)>g(\frac{1}{3})$ Czego to dowodzi?

tomek987 postów: 103	2016-11-27 08:26:55 Że funkcje, które, których wartość w zerze jest większa od wartości w $\frac{1}{3}$ nie przecinają zbioru A, czyli nie należą do domknięcia. Czyli domknięcie A to po prostu A. Dobrze rozumuje? Jeśli mógłbym prosić o podpowiedź do drugiego zadania :)

tumor postów: 8070	2016-11-27 09:06:15 Wzięliśmy funkcję z A` i pokazaliśmy, że pewne jej otoczenie o promieniu r również zawiera się w A`, czyli A` otwarty. Przestrzeń K jest metryczna. Gdyby była zwarta, byłaby zupełna. Możesz poszukać ciągu Cauchy'ego funkcji z K, którego granica nie należy do K. Brak zupełności dałby brak zwartości. Inaczej: w przestrzeni zwartej każdy ciąg zawiera podciąg zbieżny. Możesz poszukać ciągu funkcji K, którego żaden podciąg nie ma w sensie metryki supremum granicy. Jeśli znajdziesz, również nie będzie zwartości. Jeśli nic Ci nie przychodzi do głowy, przypomnij sobie albo pooglądaj przykłady z analizy, gdzie się szukało granic ciągów funkcyjnych. Być może któryś ciąg daje się użyć albo nieco przerobić, żeby funkcje należały do K.

tomek987 postów: 103	2016-11-27 16:10:36 Zupełności jeszcze nie mieliśmy. Może wziąć funkcję która w $f_{n}$, która jest równa 0 dla x$\in$[0,$\epsilon$], potem rośnie liniowo do 1 i osiąga jeden w x=$\frac{1}{3}$, potem znów liniowo maleje do 0 i już dla x$\in[\epsilon,1]$=0?

tumor postów: 8070	2016-11-27 21:04:14 Bardzo ładnie. Ja wymyśliłem zbliżony przykład, to znaczy $f_n$ stale równa 1 w przedziale $[0,1-\frac{1}{n+1}]$, potem maleje do $f_n(1-\frac{1}{n+2})=0$ i dalej jest już równa 0. Jeśli weźmiemy $m<n$ naturalne, to wtedy $f_n(1-\frac{1}{n+1})=1$ $f_m(1-\frac{1}{n+2})=0$ Wobec tego $sup(f_n-f_m)=1$. Taki ciąg funkcji nie ma żadnego podciągu spełniającego warunek Cauchy'ego, wobec tego żaden jego podciąg nie jest zbieżny (zbieżny spełniałby warunek Cauchy'ego). --- To rozwiązanie, które dotyczy zupełności, da się zrozumieć bez tego pojęcia. Tu przykładowy ciąg funkcji to $f_n(x)=\sqrt[n]{x}$. To funkcje rosnące w $[0,1]$, oczywiście $f_n(0)=0$ oraz $f_n(1)=1$, czyli należą do K. Jeśli przemyślisz, jaka funkcja f jest granicą (punktową) ciągu $f_n$, to wyjdzie $f(x)=\left\{\begin{matrix} 0 \mbox{ dla }x=0 \\ 1 \mbox{ dla }x\in (0,1] \end{matrix}\right.$ Gdyby przestrzeń K była zwarta, to ciąg $f_n$ zawierałby podciąg zbieżny (do elementu z K). Jeśli jednak funkcja $g\in K$ byłaby granicą tego podciągu, to byłaby granicą całego ciągu (jeśli podciąg ciągu Cauchy'ego ma granicę, to jest to granica całego ciągu). Wobec tego g=f. Ale $f\notin K$. Czyli nie użyłem samego pojęcia zupełności przestrzeni, ale wykorzystałem odpowiednie rozumowanie.

tomek987 postów: 103	2016-11-27 21:30:03 Ta druga część o wiele bardziej mi się podoba! Bardzo dziękuję :)

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj