Algebra, zadanie nr 5016
ostatnie wiadomości | regulamin | latex
Autor | Zadanie / Rozwiązanie |
zenek88 postów: 8 | 2016-11-29 21:27:10 Jak policzyć taką granicę: $\lim_{n \to \infty}(\frac{1}{\sqrt{3}}+{\frac{1}{3}i})^n$ |
tumor postów: 8070 | 2016-11-29 21:34:51 Skorzystać z tego, że moduł iloczynu liczb zespolonych to iloczyn modułów. Możesz zatem zacząć od tego, że się zastanowisz, jaką granicę ma ciąg modułów: $ \lim_{n \to \infty}|\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{3}i|^n$ Proponuję ograniczyć to z odpowiedniej strony przez coś, co się łatwiej liczy. ---- Inaczej: możesz liczbę w nawiasie zapisać w postaci trygonometrycznej. Tę się akurat łatwo da. Postać trygonometryczna to iloczyn modułu i ciągu ograniczonego. Tak zapisaną granicę również liczy się łatwo. Wiadomość była modyfikowana 2016-11-29 21:35:41 przez tumor |
zenek88 postów: 8 | 2016-11-29 21:40:53 no więc wychodzi mi $g=\frac{2}{3}$ czy to tak powinno wyjść? Wiadomość była modyfikowana 2016-11-29 21:41:46 przez zenek88 |
tumor postów: 8070 | 2016-11-29 21:42:09 Taki wychodzi moduł liczby zespolonej. A w granicy jeszcze mamy do n-tej potęgi. |
zenek88 postów: 8 | 2016-11-29 21:46:33 czyli $g=\frac{2}{3}< 1$ to g=0? |
tumor postów: 8070 | 2016-11-29 21:58:07 Tak. Rozpisując sposoby, które podałem: 1) $0 \le \lim_{n \to \infty}|\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{3}i|^n\le \lim_{n \to \infty}|\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{3}|^n\le \lim_{n \to \infty}|0,99|^n =0$ albo 2) $\lim_{n \to \infty}(\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{3}i)^n= \lim_{n \to \infty}|\frac{2}{3}|^n (cosn\alpha+isinn\alpha)=0$ kąt $\alpha$ można sobie w razie chęci wyznaczyć, ale nie ma on wpływu na granicę, bo mamy iloczyn ciągu zbieżnego do zera i ciągu ograniczonego, granica musi być 0. |
strony: 1 |
Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj