Analiza matematyczna, zadanie nr 507

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
mat12 postów: 221	2012-09-02 16:56:54 f(x,y):= $\left\{\begin{matrix} \frac{xy(x-y)}{x^{2}+y^{2}},gdy (x,y)\neq (0,0)\\ 0, gdy (x,y)=(0,0) \end{matrix}\right.$ Zbadać ciągłość funkcji f w punkcie (0,0). Ogromnie proszę o pomoc jak sprawdzić czy jest ciągła.

tumor postów: 8070	2012-09-03 21:21:07 Zajrzeć do notatek, gdzie się ma definicję ciągłości. (A może się ma z 6-8 warunków równoważnych ciągłości i można, łatwiej lub trudniej, skorzystać z każdego). Gdybyśmy tak na pierwszy rzut oka widzieli, że funkcja w podobnym zadaniu nie jest ciągła, najłatwiej byłoby skorzystać z definicji Heinego, wystarczy znaleźć ciąg $(x_n; y_n)$ zbieżny do $(0;0)$, ale taki, że ciąg wartości $f(x_n;y_n)$ nie jest zbieżny do $0$. Bardzo często testuje się wtedy ciągi o różnym tempie zbieżności do $0$. Może $a_n = \frac{1}{n}$, a może $c_n = \frac{1}{n^2}$, a może $c_n = \frac{1}{2^n}$, może dwa takie same, a może $x_n$ różny od $y_n$, kto to wie. :P

mat12 postów: 221	2012-09-05 21:45:08 to akurat wiem. czyli ta funkcja nie jest ciągła w pkt (0,0)??? a jak zobaczyć na pierwszy rzut oka,że funkcja nie jest ciągła ??? za wszelkie wyjaśnienia ogromne dzięki.

tumor postów: 8070	2012-09-06 11:28:05 Skoro nie widzisz nieciągłości od razu, to nie widzisz. Czyli sprawdzamy inaczej. Przetestowałeś już wiele różnych ciągów? :> Jeśli tak, a wszystkie były zbieżne do 0, to zaczynasz podejrzewać, że może funkcja ciągła jest. To zastanawiamy się, na przykład tak: Jeśli funkcja jest ciągła, to wraz z malejącymi do 0 zmiennymi x i y będzie maleć do 0 wartość funkcji. Jak można zobrazować fakt, że x i y maleją do 0? Bardzo różnie. Możesz sobie wymyślić ciąg okręgów takich, że (x;y) znajduje się na nich, a promień zbiega do 0. W tym przypadku $x_n^2+y_n^2=\epsilon_n$. Możesz myśleć, że punkt znajduje się w kole otwartym o malejącej średnicy. Możesz wyobrazić sobie malejący kwadrat albo liczyć na dowolnym otoczeniu otwartym. Załóżmy, że $x_n^2+y_n^2=\epsilon_n$. Wtedy mianownik funkcji to po prostu $\epsilon_n$. A licznik? Jak ma się $x$ do $\epsilon$? Jak ma się $(x-y)$ do $\epsilon$? Co z tego wynika?

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj