Analiza matematyczna, zadanie nr 5079

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
xaan postów: 14	2016-12-16 17:26:34 Jak policzyć taką całkę? $\int_{}^{}\frac{\sqrt{t^{4}+1}}{t^{3}} dt$

janusz78 postów: 820	2016-12-16 18:34:43 Najpierw przez części: $ \int\frac{\sqrt{t^4+1}}{t^3}dt = \int \left(-\frac{1}{2}t^{-2} \right)' \sqrt{t^4+1}dt = -\frac{1}{2t^2}\sqrt{1+t^4} + \int\frac{t}{\sqrt{t^4+1}}dt.$ Potem przez podstawienie. Na przykład $ t^2 = \cosh(u), 2tdt = \sinh(u)du.$ $ \int\frac{\sqrt{t^4+1}}{t^3}dt= -\frac{1}{2t^2}\sqrt{1+t^4} + \frac{1}{2}\int du = -\frac{1}{2t^2}\sqrt{1+t^4} + \frac{1}{2}u + C = -\frac{1}{2t^2}\sqrt{1+t^4} + \frac{1}{2}\cosh^{-1}(t) + C =-\frac{1}{2t^2}\sqrt{1+t^4}+ \frac{1}{2}\ln(t + \sqrt{t^2 -1}) + C.$ Wiadomość była modyfikowana 2016-12-16 19:19:19 przez janusz78

xaan postów: 14	2016-12-16 20:51:16 Nie da się jakoś obejść cosinusa hiperbolicznego? Bo czegoś takiego nie mieliśmy.

janusz78 postów: 820	2016-12-16 22:25:00 Da się obejść kosinus hiperboliczny przez tangens. $ t^2 = tg(\alpha), \ \ 2tdt = \frac{1}{\cos^2(\alpha)}d\alpha,$ $ t^4 + 1 = tg^2(\alpha)+ 1= \frac{1}{\cos^2(\alpha)}.$

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj