Rachunek różniczkowy i całkowy, zadanie nr 5085

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
dorczu postów: 6	2016-12-17 17:41:38 Dobry. Mam do policzenia pochodną: $y = ln\sqrt[3]{sinx}$ Mi osobiście wychodzi wynik: $\frac{cosx}{3sinx}$ Natomiast odpowiedź według klucza to: y' = $\frac{(sinx)^{\frac{-2}{3}}cosx}{3\sqrt[3]{sinx}}$ i teraz pytanie: Ja mam źle czy klucz? Jakby co to tam jest sinus podniesiony do potęgi -2/3

janusz78 postów: 820	2016-12-17 18:44:46 Z jakich funkcji składa się funkcja y? Z funkcji zewnętrznej logarytm naturalny, którego pochodna $ f'(x) = \frac{1}{g(h(x))}$ z funkcji wewnętrznej $ g $-pierwiastek trzeciego stopnia, której pochodna jest równa $g'(x) = \frac{1}{3\sqrt[3]{h^{2}(x)}} $ i funkcji wewnętrznej $ h(x) = \sin(x),$ której pochodna jest równa $ h'(x) = \cos(x)$ Z twierdzenia o pochodnej złożenia, otrzymujemy $y' = \frac{1}{\sqrt[3]{\sin(x)}}\cdot \frac{1}{3\sqrt[3]{\sin^2(x)}}\cdot \cos(x)$ Lub wg klucza odpowiedzi $ y' =\frac{1}{3\sqrt[3]{\sin(x)}}\cdot\sin^{-\frac{2}{3}}(x)\cdot \cos(x).$

dorczu postów: 6	2016-12-18 11:35:33 Mam dobrze to, ponieważ ja się pokusiłem o dalsze przekształcenia. Ja zrobiłem jeszcze mnożenie w mianowniku --> wyszedłem z założenia, że jeżeli stopień pierwiastka jest taki sam, to czynniki podpierwiastkowe mogę przez siebie pomnożyć, czyli wyjdzie sinx do 3, co finalnie daje mi mój wynik. Czy można tak zrobić? Bo wychodzi na to, że o czymś tu nie wiem.

janusz78 postów: 820	2016-12-18 11:45:53 Możesz tak zrobić. I Twój będzie bardziej elegancki od wyniku w kluczu odpowiedzi. $ y' = \frac{\cos(x)}{3\sqrt[3]{\sin^3(x)}} = \frac{\cos(x)}{3\sin(x)}= \frac{1}{3}ctg(x).$

dorczu postów: 6	2016-12-18 12:17:17 Ok, to dziękuję za odpowiedź :)

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj