Analiza matematyczna, zadanie nr 5087
ostatnie wiadomości | regulamin | latex
Autor | Zadanie / Rozwiązanie |
tomek987 postów: 103 | 2016-12-17 22:10:48 Czy zbiór A={$x\in R$ : $(f_{n}(x))$ jest zbieżny} jest borelowski? |
tumor postów: 8070 | 2016-12-17 23:07:22 Zależy od ciągu funkcji $f_n$. Dowolny zbiór A można otrzymać odpowiednio dobierając funkcje $f_n$. W szczególności niech dla każdego n będzie $f_n(x)=0$ gdy $x\in A$ oraz $(-1)^n$ gdy $x\notin A$. Przypuszczalnie Twoje polecenie jest niepełne. |
tomek987 postów: 103 | 2016-12-19 17:43:46 Założenie jest takie, że funkcje są ciągłe. Odpowiedź jest, ze A jest borelowski, tylko nie wiem jak to uzasadnić |
tumor postów: 8070 | 2016-12-19 18:33:31 Zbiór punktów, w których ciąg jest zbieżny to $A=\{x: \forall_{k\in N}\exists_{p\in N}\forall_{n>p} \forall_{m>p} |f_n(x)-f_m(x)|<\frac{1}{k}\}=\bigcap_{k\in N}\bigcup_{p\in N}\bigcap_{n,m>p}\{x: |f_n(x)-f_m(x)|<\frac{1}{k}\}$ Natomiast jakie są zbiory $\{x: |f_n(x)-f_m(x)|<\frac{1}{k}\}$ przy ustalonych $n,m,k$? |
tomek987 postów: 103 | 2016-12-19 19:12:37 Są to zbiory otwarte. Dobrze myślę? |
tumor postów: 8070 | 2016-12-19 19:21:55 Tak. To wypada udowodnić, ale nie jest przesadnie trudne. Jeśli $f_n(x)$ i $f_m(x)$ różnią się o mniej niż $\frac{1}{k}$ to także istnieje otoczenie U punktu x, że dla każdego $y\in U$ $f_n(y)$ i $f_m(y)$ różnią się o mniej niż $\frac{1}{k}$ |
strony: 1 |
Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj