logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Analiza matematyczna, zadanie nr 5087

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

tomek987
postów: 103
2016-12-17 22:10:48

Czy zbiór A={$x\in R$ : $(f_{n}(x))$ jest zbieżny} jest borelowski?


tumor
postów: 8070
2016-12-17 23:07:22

Zależy od ciągu funkcji $f_n$. Dowolny zbiór A można otrzymać odpowiednio dobierając funkcje $f_n$.

W szczególności niech dla każdego n będzie
$f_n(x)=0$ gdy $x\in A$ oraz $(-1)^n$ gdy $x\notin A$.
Przypuszczalnie Twoje polecenie jest niepełne.


tomek987
postów: 103
2016-12-19 17:43:46

Założenie jest takie, że funkcje są ciągłe. Odpowiedź jest, ze A jest borelowski, tylko nie wiem jak to uzasadnić


tumor
postów: 8070
2016-12-19 18:33:31

Zbiór punktów, w których ciąg jest zbieżny to
$A=\{x: \forall_{k\in N}\exists_{p\in N}\forall_{n>p} \forall_{m>p} |f_n(x)-f_m(x)|<\frac{1}{k}\}=\bigcap_{k\in N}\bigcup_{p\in N}\bigcap_{n,m>p}\{x: |f_n(x)-f_m(x)|<\frac{1}{k}\}$

Natomiast jakie są zbiory
$\{x: |f_n(x)-f_m(x)|<\frac{1}{k}\}$ przy ustalonych $n,m,k$?


tomek987
postów: 103
2016-12-19 19:12:37

Są to zbiory otwarte. Dobrze myślę?


tumor
postów: 8070
2016-12-19 19:21:55

Tak. To wypada udowodnić, ale nie jest przesadnie trudne. Jeśli $f_n(x)$ i $f_m(x)$ różnią się o mniej niż $\frac{1}{k}$ to także istnieje otoczenie U punktu x, że dla każdego $y\in U$
$f_n(y)$ i $f_m(y)$ różnią się o mniej niż $\frac{1}{k}$

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt   drukuj