logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Geometria, zadanie nr 5090

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

ewiglusz123
postów: 8
2016-12-18 15:01:41

Wyznaczyć:
a) rzut punktu M= (2,3,7) na płaszczyznę ABC, gdzie A=(2,1,3), B=(3,1,4), C=(7,-2,1)
b) punkt symetryczny do M względem ABC


tumor
postów: 8070
2016-12-18 15:09:51

Była może ortogonalizacja Grama-Schmidta?

Jeśli masz wektory AB i AC (na przykład, oczywiście) oraz wektor MA, możesz łatwo znaleźć składową wektora MA prostopadłą do AB i AC. Wektor ten (ta składowa) prowadzony z M wskaże rzut M`, a prowadzony z M` da punkt symetryczny.


ewiglusz123
postów: 8
2016-12-18 15:17:37

Nie było


tumor
postów: 8070
2016-12-18 15:34:51

To se zerknij do podręcznika albo na wiki. Tak jest najprościej.

W skrócie:

Jeśli masz dwa wektory v,u, liniowo niezależne, ale niekoniecznie prostopadłe, to:

skoro
$u\circ v=|u||v|cos\alpha$, to
$cos\alpha=\frac{u\circ v}{|u||v|}$
$|v|cos\alpha$ jest długością rzutu v na u, wobec tego
$\frac{u}{|u|}*|v|cos\alpha$ jest składową v równoległą do u.
Natomiast
$v-\frac{u}{|u|}*|v|cos\alpha$ jest składową v prostopadłą do u.

Podstawiając do trzeba za $cos\alpha$ będziemy mieć wzór tej składowej
$v-u*\frac{u\circ v}{|u|^2}$

Możesz więc łatwo wyodrębnić z szukanego wektora tę jego składową, która jest do innych wektorów prostopadła. To wygodny sposób rozwiązywania wielu zadań.





janusz78
postów: 820
2016-12-18 16:55:33


a)
Znajdujemy równanie płaszczyzny w postaci ogólnej przechodzącej przez zadane trzy punkty:

Na przykład z iloczynu wektorowego obliczamy współrzędne wektora prostopadłego płaszczyzny:

$ \vec{v} = \vec{AB} \times \vec{AC}= [1,0,1]\times [5,-3,-2]= [3, 7,-3].$

Równanie płaszczyzny:

$\pi: 3(x -2) + 7(y - 1) -3(z-3)= 0,$

$ \pi: 3x +7y -3z -4 =0.$

Wektor $\vec{v}$ jest wektorem kierunkowym prostej $l $ prostopadłej do płaszczyzny i przechodzącej przez punkt $M = (2,3,7).$

Równanie parametryczne tej prostej:

$\left\{\begin{matrix} x = 2 +3t,\\ y= 3 + 7t,\\ z = 7-3t \end{matrix}\right.$

Rzut prostopadły punktu $ M $ na na płaszczyznę $ \pi $ jest punktem "przebicia" $P$ prostej $ l $ płaszczyzny $ \pi.$

Znajdziemy współrzędne tego punktu:

Obliczamy Wspólną wartość parametru $ t $ dla tego punktu:

$3(2+3t) +7(3+7t)- 3(7-3t) -4 =0,$

$67 t +2 =0, \ \ t* =\frac{-2}{67}$

Współrzędne punktu $ P$

$ x_{P}= 2+ 3\cdot \frac{-2}{67}= 1\frac{61}{67},$

$ y_{P}= 3+ 7\cdot \frac{-2}{67}= 2\frac{53}{67},$

$ z_{P}= 7- 3\cdot \frac{-2}{67}= 7\frac{6}{67}.$






Wiadomość była modyfikowana 2016-12-18 17:41:19 przez janusz78

janusz78
postów: 820
2016-12-18 17:21:11

Współrzędne punktu symetrycznego$ M'(x',y',z') $ względem punktu $ M$ znajdujemy z równań środka odcinka:

$ \frac{x'+ x_{M}}{2} = x_{P},$

$ \frac{y'+ y_{M}}{2} = y_{P},$

$ \frac{z'+ y_{M}}{2} = z_{P}.$


ewiglusz123
postów: 8
2016-12-18 19:22:50

Dziękuję :)

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt   drukuj