Geometria, zadanie nr 5090

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
ewiglusz123 postów: 8	2016-12-18 15:01:41 Wyznaczyć: a) rzut punktu M= (2,3,7) na płaszczyznę ABC, gdzie A=(2,1,3), B=(3,1,4), C=(7,-2,1) b) punkt symetryczny do M względem ABC

tumor postów: 8070	2016-12-18 15:09:51 Była może ortogonalizacja Grama-Schmidta? Jeśli masz wektory AB i AC (na przykład, oczywiście) oraz wektor MA, możesz łatwo znaleźć składową wektora MA prostopadłą do AB i AC. Wektor ten (ta składowa) prowadzony z M wskaże rzut M`, a prowadzony z M` da punkt symetryczny.

ewiglusz123 postów: 8	2016-12-18 15:17:37 Nie było

tumor postów: 8070	2016-12-18 15:34:51 To se zerknij do podręcznika albo na wiki. Tak jest najprościej. W skrócie: Jeśli masz dwa wektory v,u, liniowo niezależne, ale niekoniecznie prostopadłe, to: skoro $u\circ v=\|u\|\|v\|cos\alpha$, to $cos\alpha=\frac{u\circ v}{\|u\|\|v\|}$ $\|v\|cos\alpha$ jest długością rzutu v na u, wobec tego $\frac{u}{\|u\|}\|v\|cos\alpha$ jest składową v równoległą do u. Natomiast $v-\frac{u}{\|u\|}\|v\|cos\alpha$ jest składową v prostopadłą do u. Podstawiając do trzeba za $cos\alpha$ będziemy mieć wzór tej składowej $v-u*\frac{u\circ v}{\|u\|^2}$ Możesz więc łatwo wyodrębnić z szukanego wektora tę jego składową, która jest do innych wektorów prostopadła. To wygodny sposób rozwiązywania wielu zadań.

janusz78 postów: 820	2016-12-18 16:55:33 a) Znajdujemy równanie płaszczyzny w postaci ogólnej przechodzącej przez zadane trzy punkty: Na przykład z iloczynu wektorowego obliczamy współrzędne wektora prostopadłego płaszczyzny: $ \vec{v} = \vec{AB} \times \vec{AC}= [1,0,1]\times [5,-3,-2]= [3, 7,-3].$ Równanie płaszczyzny: $\pi: 3(x -2) + 7(y - 1) -3(z-3)= 0,$ $ \pi: 3x +7y -3z -4 =0.$ Wektor $\vec{v}$ jest wektorem kierunkowym prostej $l $ prostopadłej do płaszczyzny i przechodzącej przez punkt $M = (2,3,7).$ Równanie parametryczne tej prostej: $\left\{\begin{matrix} x = 2 +3t,\\ y= 3 + 7t,\\ z = 7-3t \end{matrix}\right.$ Rzut prostopadły punktu $ M $ na na płaszczyznę $ \pi $ jest punktem "przebicia" $P$ prostej $ l $ płaszczyzny $ \pi.$ Znajdziemy współrzędne tego punktu: Obliczamy Wspólną wartość parametru $ t $ dla tego punktu: $3(2+3t) +7(3+7t)- 3(7-3t) -4 =0,$ $67 t +2 =0, \ \ t* =\frac{-2}{67}$ Współrzędne punktu $ P$ $ x_{P}= 2+ 3\cdot \frac{-2}{67}= 1\frac{61}{67},$ $ y_{P}= 3+ 7\cdot \frac{-2}{67}= 2\frac{53}{67},$ $ z_{P}= 7- 3\cdot \frac{-2}{67}= 7\frac{6}{67}.$ Wiadomość była modyfikowana 2016-12-18 17:41:19 przez janusz78

janusz78 postów: 820	2016-12-18 17:21:11 Współrzędne punktu symetrycznego$ M'(x',y',z') $ względem punktu $ M$ znajdujemy z równań środka odcinka: $ \frac{x'+ x_{M}}{2} = x_{P},$ $ \frac{y'+ y_{M}}{2} = y_{P},$ $ \frac{z'+ y_{M}}{2} = z_{P}.$

ewiglusz123 postów: 8	2016-12-18 19:22:50 Dziękuję :)

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj