Analiza matematyczna, zadanie nr 5096
ostatnie wiadomości | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwiązanie |
| tomek987 postów: 103 |  2016-12-19 19:17:06Jak wykazać, ze jeśli $A\subset R$nie jest miary zero, to dla każdej liczby $b\in(0,1)$ istnieje przedział P tż miara zewnętrzna Lebesque'a z ($A\cap B$)$>c*$vol(P)? |
| tumor postów: 8070 | 2016-12-19 20:13:59 Rzecz wynika z definicji miary zewnętrznej Lebesgue'a (w nazwisku jest g, nie q). $\lambda^*(X)=inf \{\sum_{P_k\in S} vol(P_k):S \mbox{ jest przeliczalną rodziną przedziałów której suma pokrywa } X\}$ Przypuśćmy, że istnieje liczba $c\in (0,1)$ dla której nie istnieje przedział P taki, że $\lambda^*(A\cap P)>c*vol (P)$ czyli dla każdego przedziału P jest $\lambda^*(A\cap P)\le c*vol (P)<(1-\frac{1}{m})vol(P)$ dla pewnego m naturalnego. Jednakże z definicji miary zewnętrznej (skoro mamy infimum) wynika istnienie przeliczalnej rodziny S przedziałów parami rozłącznych* takiej, że $\lambda^*(A)>(1-\frac{1}{2m})\sum_{P_k\in S}vol(P_k)$ i suma S pokrywa A. Mamy $(1-\frac{1}{2m})\sum_{P_k\in S}vol(P_k)< \lambda^*(A\cap \bigcup S)\le \sum_{P_k\in S}\lambda^*(A\cap P_k)\le (1-\frac{1}{m})\sum_{P_k\in S}vol(P_k)$ --- * - definicja nie musi mówić o rozłączności przedziałów. Łatwo jednak mając przeliczalną rodzinę przedziałów $S_1$ stworzyć rodzinę przeliczalną $S_2$ przedziałów parami rozłącznych. Szczegóły techniczne niepotrzebnie by zamotały w tym miejscu. |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj