Analiza matematyczna, zadanie nr 5106
ostatnie wiadomości | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwiązanie |
| brightnesss postów: 113 |  2016-12-29 12:20:33Niech f:[0,1]->R, f(x)=$\left\{\begin{matrix} e^{x} , x\in[0,1] \C \\sinx , x\in C \end{matrix}\right.$, gdzie C to zbiór Cantora. Wykazać, że f jest mierzalna w sensie Lebesgue'a. |
| janusz78 postów: 820 | 2016-12-29 15:35:41 Musimy najpierw pokazać, że zbiór $ \mathbb{Z} \setminus \mathbb{C} $ jest mierzalny jako różnica dwóch zbiorów mierzalnych. Później udawadniamy, że funkcje $ exp(x), \ \ sin(x) $ określone na zbiorach mierzalnych są mierzalne. |
| brightnesss postów: 113 | 2017-01-09 09:47:21 A jak udowodnić że funkcje na tych zbiorach są mierzalNe? Np exp (x), nie wiem jak się za to zabrać przez to ze tam mamy zbiór Cantora. |
| janusz78 postów: 820 | 2017-01-09 14:56:20 Zbiór Cantora jest zbiorem mierzalnym o mierze równej $ 0.$ Aby to wykazać korzystamy z twierdzenia: " Jeżeli $ E, F $ są zbiorami mierzalnymi oraz $ E\subset F,$ to zbiór $ F- E $jest również zbiorem mierzalnym i $ |F- E| = |F|- |E|,$ jeżeli $ |E|<\infty."$ Dowód: $ |C| = |<0,1> -\mathbb{O}| = 1 -|\mathbb{O}| = 1 - \sum_{p=1}^{\infty} \sum_{k=1}^{2^{p-1}}I_{p,k} = 1 - \sum_{p=1}^{\infty}\frac{2^{p-1}}{3^{p}}= 1 - \frac{1}{3}\sum_{p=1}^{\infty}\left(\frac{2}{3}\right)^{p-1}= 1 -1 =0.$ Co mieliśmy wykazać. Mierzalność funkcji $ e^{x}, \ \ \sin(x)$ pokazujemy z definicji funkcji mierzalnej jednej zmiennej rzeczywistej. Kiedy mówimy, że funkcja $ f $ jest funkcją mierzalną? |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj