Algebra, zadanie nr 5108

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
mate_matykaa postów: 117	2016-12-30 16:29:19 1.Udowodnić, że dla każdego $n\in \mathbb{N}_+, $grupa $\mathbb{Q} / \mathbb{Z}$zawiera dokładnie jedną podgrupę rzędu n. 2. Załóżmy, że G jest grupą, której rząd jest iloczynem dwóch różnych liczb pierwszych. udowodnić, że: a) każda podgrupa właściwa grupy G jest cykliczna, b) jeżeli G jest przemienna, to jest cykliczna i podac przykład pokazujący istotnosc założenia przemienności. c) jeżeli G nie jest przemienna, to \|Z(G)\|=1. 3.Udowodnić, że dla każdego$n \ge 2$ i każdego $k \in \{1,...,n\},$ grupa $S_n$ zawiera podgrupę rzędu (n-k)! Prosze o pomoc i z góry dziękuje za rozwiązania! :) Baardzo mi potrzebne to jest, a już siedzę z tymi zad tygodnie i nic nie wymyślam...

mate_matykaa postów: 117	2017-01-01 16:02:36 ktos coś pomoże?

tumor postów: 8070	2017-01-02 10:12:13 1. Grupa Q/Z to zbiór liczb wymiernych z przedziału [0,1) z działaniem $a\#b=a+b-[a+b]$ gdzie $[]$ oznacza całość. Należy pokazać, że w zbiorze $Q\cap [0,1)$ istnieje tylko jeden n-elementowy podzbiór zamknięty na działanie #. Wygodnie zrobić to rozważając podzbiór do którego należy $\frac{p}{q}$ dla $0<p<q$ i $NWD(p,q)=1$

tumor postów: 8070	2017-01-02 10:38:23 2. a) rząd podgrupy właściwej jest liczbą pierwszą. Weźmy dowolny element, który nie jest neutralny i wszystkie jego naturalne potęgi. Jeśli w ten sposób nie uzyskamy podgrupy, to podgrupa ma podgrupę właściwą, ale podgrupa rzędu pierwszego nie ma nietrywialnych podgrup właściwych. (rząd podgrupy dzieli rząd grupy) b) w grupie przemiennej każdy element g będzie miał jednoznaczne (co do kolejności) przedstawienie w postaci ab gdzie a,b są elementami obu podgrup cyklicznych wspomnianych wyżej, czyli $ab=h^xk^y$ Wobec tego $g\to (x,y)$ jest izomorfizmem G z $Z_p+Z_q$ jeśli jednak ab będzie różna od ba, to znajdziesz kontrprzykład dla cykliczności (szukaj w permutacjach albo macierzach, tam, gdzie są dość oczywiste nieprzemienności) c) załóż, że jakiś element poza neutralnym należy do centrum i dojdź do wniosku, że G musi być przemienna (posiłkuj się a)b)) 3. Olaboga. Masz permutacje zbioru n-elementowego. Rozważ wszystkie populacje z k ustalonych punktów stałych. Takie permutacje tworzą grupę izomorficzną z grupą permutacji n-k elementowych --- Nad zadaniem nie siedzi się, tylko się myśli. Ja znam studentów i nie widuję wielu, którzy myślą nad jednym zadaniem tygodnie. A jak myślą, to z reguły są znakomici i wymyślają.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj