Inne, zadanie nr 5178

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
madziag88 postów: 14	2017-01-18 13:52:13 Czy mogę prosić o pomoc w takim zadaniu: wykaż, że każda baza $\mathcal{B}$ przestrzeni topologicznej X ma następujące własności: a) dla każdego $x \in X$, istnieje $B \in \mathcal{B},$ takie, że $x \in B$, b) dla każdego $B_1, B_2 \in \mathcal{B}$ i punktu $x \in B_1 \cap B_2,$istnieje $B \in \mathcal{B}$, takie, że $x \in B \subset B_1 \cap B_2$. Czy każda rodzina $\mathcal{R}$ podzbiorów zbioru X spełniająca te warunki tworzy bazę pewnej topologii na X?

tumor postów: 8070	2017-01-18 14:15:00 a) http://www.math.edu.pl/forum/temat,studia,5177,0 jeśli podstawimy U=X b) z definicji bazy: zbiory bazowe są otwarte. Ich przekrój jest zbiorem otwartym, jeśli zatem zastosujemy znów zadanie 5177 tym razem z $U=B_1\cap B_2$, to otrzymamy co trzeba. --- $\emptyset$ należy do topologii X należy do topologii dzięki warunkowi a), bowiem $X=\bigcup_{x\in X}B_x$ (przy rozumieniu jak w zadaniu 5177) Jeśli topologię stworzymy jako zbiór wszelkich możliwych sum podrodzin rodziny R, to będzie spełniony też warunek sumy. Wreszcie warunek przekroju załatwia nam b), przekrój dwóch zbiorów bazowych daje się wyrazić jako suma zbiorów bazowych, wobec czego przekrój dwóch sum zbiorów bazowych też jest sumą zbiorów bazowych. Zatem rodzina wszelkich sum podrodzin rodziny R jest topologią wprowadzoną przez bazę R.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj