Teoria liczb, zadanie nr 5180

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
madziag88 postów: 14	2017-01-18 14:46:32 Proszę o pomoc w uzasadnieniu wykorzystując własności domknięcia następujące własności operacji wnętrza dla dowolnych $A, B \subset X$ a) $Int A $ jest zbiorem otwartym, b) $Int A \subset A$, c) $Int (A\cap B)= Int A \cap Int B $, d)$Int A \cup Int B \subset Int (A \cup B) $, e) A jest zbiorem otwartym $\iff$ A= Int A, f) $Int A= Int(Int A)$, g)$ Int \emptyset=\emptyset$ h) Int X=X i) $A \subset B\Rightarrow Int A \subset Int B$. Proszę o wytłumaczenie.

madziag88 postów: 14	2017-01-18 15:21:13 Wnętrze: $Int A= \cup \mathcal{\theta}_A$

madziag88 postów: 14	2017-01-18 15:22:50 Domknięcie: $\overline{A}=\cap D_A$

tumor postów: 8070	2017-01-18 16:55:54 Wnętrze to, jak piszesz, suma zbiorów otwartych zawartych w A. Skoro coś jest sumą zbiorów otwartych, to jest to zbiór otwarty, dlatego a) $intA$ jest otwarty b) suma zbiorów zawartych w A musi być zbiorem zawartym w A c) $A\cap B\subset A$ $int(A\cap B)\subset A$ lewa strona jest zbiorem otwartym zawartym w A, czyli jest zawarta we wnętrzu A, czyli $int (A\cap B)\subset int A$ wobec tego $int (A\cap B)\subset int A\cap int B$ w drugą stronę $intA\cap int B \subset A\cap B$ (to oczywiste skoro b) Lewa strona jest zbiorem otwartym zawartym w A\cap B, więc także w jego wnętrzu $intA\cap int B \subset int(A\cap B)$ d) $A\subset A\cup B$ $int A\subset A\cup B$ lewa strona jest zbiorem otwartym zawartym w prawej stronie, więc także w jej wnętrzu $int A\subset int (A\cup B)$ podobnie B, wobec tego $int A\cup int B \subset int (A\cup B)$ e) skoro a), to wnętrze jest zbiorem otwartym, a skoro b), to zawartym w A. Jeśli A jest otwarty, to $A\subset int A$, co daje $A=intA$, jeśli natomiast $A=intA$, to jest otwarty jak wszystkie wnętrza f) wynika z e), skoro intA jest otwarty, to jego wnętrze $int(intA)$ jest mu równe g) $\emptyset$ jest otwarty, zatem pasuje do e) h) korzystamy z e) jak w g) i) z definicji wnętrza wprost wynika, że jeśli zbiór otwarty zawiera się w jakimś zbiorze B, to zawiera się także w jego wnętrzu. $intA\subset A\subset B$, czyli intA zawiera się w B (a jest otwarty), wobec tego $intA\subset int B$

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj