Inne, zadanie nr 5233

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
kowalik90 postów: 57	2017-01-27 20:33:33 Mam prośbę czy mógłby mi ktoś sprawdzić, czy dobrze mam przetłumaczone takie zadanie? Bardzo zależy mi na tym, by ktoś mi sprawdził i ewentualnie wskazał co mam źle. Z góry bardzo dziękuj. Zadanie brzmi następująco: Udowodnij, że $X / Y$ z topologią ilorazową jest liniowo-topologiczna. Czy potrzebne jest założenie, że X jest domknięte? Rozwiązanie: Na podstawie propozycji mówiącej, że: Niech X będzie przestrzenią topologiczną wektorową, a M-liniową podprzestrzenią X. Rozważmy $X / Y$ wyposażoną w topologię ilorazową. Następujące własności są równoważne: 1) M jest zbiorem domkniętym, 2) $X / Y$ jest Hausdorffa. oraz korzystając z wniosku, który mówi nam, że: Dla przestrzeni topologicznej wektorowej X mamy następujące równoważności : a) X jest Hasduorffa, b) przekrój wszystkich otwartych otoczeń początku układu współrzędnych 0 jest równy ${0}$, c)$\left\{ 0\right\}$ jest zbiorem domkniętym, udowodnijmy, że $X / Y$ z topologią ilorazową, jest liniowo-topologiczna. Zauważmy, że przestrzeń topologiczno wektorowa $\left\{ 0\right\}$ jest zbiorem domkniętym i jednocześnie wszystkie zbiory jednoelementowe są zbiorami domkniętymi (a więc są przestrzenią $T_1$. b) jest równoważna z tym, że dopełnienie $X/Y$ jest zbiorem otwartym w odniesieniu do topologii ilorazowej.Jednak dopełnienie zbioru w $X/Y$ jest dokładnie obrazem przez $\phi$ dopełnienia Y w X. Ponieważ $\phi$ jest zbiorem otwartym ciągłym, a $\phi$ jest dopełnieniem zbioru Y w X i zbiorem otwartym w $X/Y$, wtwg dopełnienie w Y w X jest zbiorem otwartym, czyli X jest Hausdorffa.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj