Analiza matematyczna, zadanie nr 5244
ostatnie wiadomości | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwiązanie |
| milenkar90 postów: 4 |  2017-01-29 22:24:37Czy funkcja jest $\frac{1}{x}$ całkowalna według miary Lebesgue'a na (0,1) ? Czy istnieje całka Lebesgue'a $\int_{0}^{1} \frac{d \mu}{x}$? |
| janusz78 postów: 820 | 2017-01-30 15:00:09 Funkcja $ f(x) = \frac{1}{x}$ jest mierzalna, bo jest ciągła na zbiorze mierzalnym. Weźmy dowolne $ p>0.$ Wtedy $[f(x)]_{p} = \begin{cases} \frac{1}{x} \ \ \mbox{gdy}\ \ x\in < 1/p, 1> \\ p \ \ \mbox{gdy}\ \ x\in<(0, 1/p) \end{cases}$ i $ \int_{0}^{1}[f(x)]_{p}dx = \int_{0}^{\frac{1}{p}}p dx + \int_{\frac{1}{p}}^{1}\frac{1}{x}dx = px|_{0}^{\frac{1}{p}}+ln(x)|_{\frac{1}{p}}^{1} = 1 - ln\left(\frac{1}{p}\right) = 1 + ln(p).$ $1 +ln(p) \rightarrow \infty,$ dla $ p\rightarrow \infty.$, nie istnieje więc takie $C\in \mathbb{R},$ że $\int_{0}^{1}[f(x)]_{p}dx \leq C $ dla $ p>0.$ Funkcja $ f $ nie jest całkowalna w sensie Riemanna. Nie jest również całkowalna w sensie Lebesque'a, gdyż $\int_{0}^{1}[f(x)]_{p}d\mu = \int_{0}^{1}[f(x)]_{p}dx,$ a zatem nie istnieje $ C\in \mathbb{R}$ takie, że $\int_{0}^{1}[\frac{1}{x}]_{p}d\mu <C $ dla $ p\geq 0.$ |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj