logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Algebra, zadanie nr 5289

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

bambinko
postów: 186
2017-02-05 12:09:42

rozwiaz rownanie w zbiorze liczb zespolonych:
$z^4+4=0$


tumor
postów: 8070
2017-02-05 12:17:53

$z^4=-4$

szukamy zatem wszystkich pierwiastków zespolonych czwartego stopnia liczby -4.

Wzór de Moivre'a


bambinko
postów: 186
2017-02-05 12:54:25

$z=\sqrt[4]{-4}$
$|z|=\sqrt{-4}$ gdzie $i^2=-1$
$|z|=\sqrt{4i}$
i co dalej moglabym zrobic?


tumor
postów: 8070
2017-02-05 14:11:11

$|z|=\sqrt[4]{4}=\sqrt{2}$

$|z|$ jest liczbą rzeczywistą nieujemną.

Jeśli piszę "wzór de Moivre'a", to dobrym wyjściem jest wkopiować to w google i odpowiedni artykuł da odpowiedź.

Liczbę zespoloną możemy zapisać w postaci trygonometrycznej

$w=|w|*(cos \phi +isin\phi) $
Jeśli podniesiemy tę liczbę do potęgi, otrzymamy
$w^4=|w|^4*(cos 4\phi +isin 4\phi)$

Wobec tego jeśli pierwiastkujemy, to działamy przeciwnie do potęgowania. Jednocześnie jednak łatwo pokazać, że liczby zespolone różniące się kątem (argumentem) o $\frac{2\pi}{n}$ mają tę samą n-tą potęgę.
Jeśli zatem jedną liczbę znajdziesz zapisując $z^4=-4$ w postaci trygonometrycznej
$-4=4(-1+i*0)=4(cos\phi+isin \phi)$
(znajdź $\phi $ dla którego cos jest -1, a sin jest 0)
i pierwiastkując
$z_1=\sqrt[4]{4}(cos\frac{\phi}{4}+isin\frac{\phi}{4})$
to następne rozwiązania różnią się o kąt $\frac{2\pi }{4}$

czyli
$z_i=\sqrt[4]{4}(cos\frac{\phi+2k\pi}{4}+isin\frac{\phi+2k\pi}{4})$
dla k=0,1,2,3



strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt   drukuj