Algebra, zadanie nr 5289
ostatnie wiadomości | regulamin | latex
Autor | Zadanie / Rozwiązanie |
bambinko postów: 186 | 2017-02-05 12:09:42 rozwiaz rownanie w zbiorze liczb zespolonych: $z^4+4=0$ |
tumor postów: 8070 | 2017-02-05 12:17:53 $z^4=-4$ szukamy zatem wszystkich pierwiastków zespolonych czwartego stopnia liczby -4. Wzór de Moivre'a |
bambinko postów: 186 | 2017-02-05 12:54:25 $z=\sqrt[4]{-4}$ $|z|=\sqrt{-4}$ gdzie $i^2=-1$ $|z|=\sqrt{4i}$ i co dalej moglabym zrobic? |
tumor postów: 8070 | 2017-02-05 14:11:11 $|z|=\sqrt[4]{4}=\sqrt{2}$ $|z|$ jest liczbą rzeczywistą nieujemną. Jeśli piszę "wzór de Moivre'a", to dobrym wyjściem jest wkopiować to w google i odpowiedni artykuł da odpowiedź. Liczbę zespoloną możemy zapisać w postaci trygonometrycznej $w=|w|*(cos \phi +isin\phi) $ Jeśli podniesiemy tę liczbę do potęgi, otrzymamy $w^4=|w|^4*(cos 4\phi +isin 4\phi)$ Wobec tego jeśli pierwiastkujemy, to działamy przeciwnie do potęgowania. Jednocześnie jednak łatwo pokazać, że liczby zespolone różniące się kątem (argumentem) o $\frac{2\pi}{n}$ mają tę samą n-tą potęgę. Jeśli zatem jedną liczbę znajdziesz zapisując $z^4=-4$ w postaci trygonometrycznej $-4=4(-1+i*0)=4(cos\phi+isin \phi)$ (znajdź $\phi $ dla którego cos jest -1, a sin jest 0) i pierwiastkując $z_1=\sqrt[4]{4}(cos\frac{\phi}{4}+isin\frac{\phi}{4})$ to następne rozwiązania różnią się o kąt $\frac{2\pi }{4}$ czyli $z_i=\sqrt[4]{4}(cos\frac{\phi+2k\pi}{4}+isin\frac{\phi+2k\pi}{4})$ dla k=0,1,2,3 |
strony: 1 |
Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj