Algebra, zadanie nr 5298

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
bambinko postów: 186	2017-02-05 21:10:09 wyznacz ekstrema funkcji $x^2=\sqrt{1-4y}$ Funkcja uwikłana: $f(x,y)=x^2-\sqrt{1-4y}$ $\frac{\delta f}{\delta x}=2x$ $\frac{\delta f}{\delta x}$ stąd $x=0$ $f(x,y)=0$ stąd $\sqrt{1-4y}=0$ $y=\frac{1}{4}$ $P(0,\frac{1}{4})$ $\frac{\delta f}{\delta y}\|P\neq 0$ $\frac{\delta f}{\delta y}=\frac{2}{\sqrt{1-4y}}\|P = $ sprzecznosc co robie źle?

tumor postów: 8070	2017-02-05 23:45:14 Pochodna $\frac{dy}{dx}$ liczona ma być ze wzoru $-\frac{\frac{df}{dx}}{\frac{df}{dy}}$ Wobec tego interesują nas tylko punkty dla których licznik się zeruje (stąd x=0), ale mianownik się nie zeruje. Jednakże rozpatrujemy w ten sposób tylko punkty, które należą do dziedziny. $y=\frac{1}{4}$ nie należy do dziedziny funkcji $\frac{2}{\sqrt{1-4y}}$ Jeśli funkcja w jakimś punkcie nie jest różniczkowalna, to nie oznacza to braku ekstremum. Najoczywistszym przykładem jest $g(x)=\|x\|$, która wszędzie poza x=0 ma pochodną 1 lub -1, a w x=0 nie ma pochodnej wcale. A jednak ma oczywiste ekstremum. Mamy zatem kandydaturę punktu i nie możemy go sprawdzić w ten sposób pochodnymi. Wracając do zadania: nie sprawia nam trudności sprawdzenie na chłopski rozum, że dla x=0 wartością y jest $\frac{1}{4}$, a dodanie lub odjęcie liczby dodatniej (rozumiemy: bliskiej 0) do/od x powoduje, że y się zmniejsza (nie może się zwiększyć, bo pod pierwiastkiem byłaby liczba ujemna, nie może pozostać stały, bo wtedy $x^2$ musiałby też pozostać stały) Wobec tego w x=0 jest lokalne maksimum.

bambinko postów: 186	2017-02-06 13:09:05 Czyli nie liczę w dalszym kroku $J=-\frac{\frac{d^2f}{dx^2}}{\frac{df}{dy}}$ ?

tumor postów: 8070	2017-02-06 14:53:19 Jeśli masz funkcję $\sqrt{x}$ określoną na przedziale $[0,\infty)$, to jej pochodna $\frac{1}{2\sqrt{x}}$ jest określona na przedziale $(0,\infty)$, widzisz różnicę między tymi przedziałami. Dla punktu x=0 nie dostajemy liczby rzeczywistej jako wartości pochodnej, prawda? A inna rzecz: ta funkcja właśnie w x=0 ma ekstremum. Podobnie jest w przykładzie z zadania. Dostajemy punkt, gdzie $\frac{df}{dy}$ nie jest liczbą rzeczywistą (bo nie możesz wstawić $y=\frac{1}{4})$. Dlatego liczymy zamiast tego na piechotę. Czyli korzystamy wprost z definicji (silnego) ekstremum. Funkcja ma w $x_0$ maksimum wtedy, gdy w pewnym otoczeniu punktu $x_0$ jest $f(x)<f(x_0)$ Za pomocą pochodnych można liczyć ekstrema, gdy funkcje są różniczkowalne. W punktach gdzie nie są różniczkowalne też możemy uzyskać ekstremum, ale nie sprawdzimy tego pochodnymi. Możesz oczywiście sprawdzać za pomocą rachunku różniczkowego, ale nieco inaczej. Wystarczy pokazać, że dla x nieco większych niż 0 funkcja jest malejąca (czyli liczymy pochodną w punkcie $x=0+\epsilon$ i pokazujemy, że jest ujemna), a dla nieco mniejszych niż 0 funkcja jest rosnąca (analogicznie). Ponieważ w tych punktach istnieje i nie zeruje się $\frac{df}{dy}$, możemy to wykonać.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj