Teoria liczb, zadanie nr 5311
ostatnie wiadomości | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwiązanie |
| geometria postów: 865 |  2017-02-08 23:45:36$1.$ Wyznacz wszystkie pary liczb pierwszych $p$ i $q$, dla których spełnione jest równanie $p^{2}-42q^{2}=1$. Mozna przeksztalcic do postaci: $(p-1)(p+1)=2*3*7q^{2}$ Dla $p=2$ mamy: $1*3=2*3*7q^{2}$, czyli $2*7q^{2}=1$, stad $q=\sqrt{\frac{1}{14}}$ a to nie jest liczba pierwsza. W jaki sposob szukac dalej? $2.$ Wyznacz wszystkie pary liczb pierwszych $p$ i $q$, dla których liczba $p^{q}+q^{p}$ jest pierwsza. Np. $2^{3}+3^{2}=8+9=17$ jest liczba pierwsza, czyli para $(2,3)$ a czy sa inne pary? Jak miec pewnosc, ze wyznaczylo sie wszystkie? |
| tumor postów: 8070 | 2017-02-09 08:45:23 1. Zauważ, że prawa strona Twojego przekształconego równania dzieli się przez 2,3,7 na pewno. Wobec tego po lewej stronie p-1 lub p+1 musi się dzielić przez 7. Znasz liczbę pierwszą p taką, żeby p-1 lub p+1 dzieliły się przez 7? (korzystamy z twierdzenia, że jeśli liczba pierwsza - tu 7 - dzieli iloczyn, to dzieli co najmniej jeden składnik) 2. Po pierwsze jedną z liczb musi być 2 a druga nieparzysta, bo inaczej, co oczywiste, wynik będzie parzysty. Czyli $p^2+2^p$ ma być liczbą pierwszą, dla 3 już masz rozwiązanie, szukamy p>3. p dzieli się przez 3 dając resztę 1 lub 2. Zauważ, że nieparzyste potęgi liczby 2 dają resztę 2 przy dzieleniu przez 3 (dowód indukcyjny, 2 daje resztę 2, a mnożenie przez 4, które ma resztę 1, nie zmieni reszty z dzielenia przez 3). Z kolei niezależnie od tego, czy liczba p daje resztę 1 czy 2 w dzieleniu przez 3, jej kwadrat da resztę 1. Suma liczby dającej resztę 2 i liczby dającej resztę 1 w dzieleniu przez 3 jest podzielna przez 3. |
| geometria postów: 865 | 2017-02-09 12:14:47 1. Np. dla $p=29, 41, 43$. 2. Czyli sa tylko 2 pary $(2,3)$ i $(3,2)$. |
| tumor postów: 8070 | 2017-02-09 12:45:31 1. Zatem p nieparzyste. Zatem lewa strona parzysta (a nawet podzielna przez 4) Zatem q podzielne przez 2 Zatem q równe 2... |
| geometria postów: 865 | 2017-02-09 13:37:58 1. $p^{2}-42*4=1$ $p^{2}=169$ $p=13$. Odp.: Jest tylko jedna para $(13, 2)$. |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj