logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Teoria liczb, zadanie nr 5311

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

geometria
postów: 863
2017-02-08 23:45:36

$1.$ Wyznacz wszystkie pary liczb pierwszych $p$ i $q$, dla których spełnione jest równanie $p^{2}-42q^{2}=1$.

Mozna przeksztalcic do postaci:

$(p-1)(p+1)=2*3*7q^{2}$

Dla $p=2$ mamy: $1*3=2*3*7q^{2}$, czyli $2*7q^{2}=1$, stad $q=\sqrt{\frac{1}{14}}$ a to nie jest liczba pierwsza.

W jaki sposob szukac dalej?

$2.$ Wyznacz wszystkie pary liczb pierwszych $p$ i $q$, dla których liczba $p^{q}+q^{p}$ jest pierwsza.

Np. $2^{3}+3^{2}=8+9=17$ jest liczba pierwsza, czyli para $(2,3)$ a czy sa inne pary? Jak miec pewnosc, ze wyznaczylo sie wszystkie?


tumor
postów: 8070
2017-02-09 08:45:23

1. Zauważ, że prawa strona Twojego przekształconego równania dzieli się przez 2,3,7 na pewno.
Wobec tego po lewej stronie p-1 lub p+1 musi się dzielić przez 7.
Znasz liczbę pierwszą p taką, żeby p-1 lub p+1 dzieliły się przez 7?

(korzystamy z twierdzenia, że jeśli liczba pierwsza - tu 7 - dzieli iloczyn, to dzieli co najmniej jeden składnik)

2.
Po pierwsze jedną z liczb musi być 2 a druga nieparzysta, bo inaczej, co oczywiste, wynik będzie parzysty.
Czyli $p^2+2^p$ ma być liczbą pierwszą, dla 3 już masz rozwiązanie, szukamy p>3.

p dzieli się przez 3 dając resztę 1 lub 2.

Zauważ, że nieparzyste potęgi liczby 2 dają resztę 2 przy dzieleniu przez 3 (dowód indukcyjny, 2 daje resztę 2, a mnożenie przez 4, które ma resztę 1, nie zmieni reszty z dzielenia przez 3).

Z kolei niezależnie od tego, czy liczba p daje resztę 1 czy 2 w dzieleniu przez 3, jej kwadrat da resztę 1.

Suma liczby dającej resztę 2 i liczby dającej resztę 1 w dzieleniu przez 3 jest podzielna przez 3.





geometria
postów: 863
2017-02-09 12:14:47

1. Np. dla $p=29, 41, 43$.

2. Czyli sa tylko 2 pary $(2,3)$ i $(3,2)$.


tumor
postów: 8070
2017-02-09 12:45:31

1. Zatem p nieparzyste.
Zatem lewa strona parzysta (a nawet podzielna przez 4)
Zatem q podzielne przez 2
Zatem q równe 2...


geometria
postów: 863
2017-02-09 13:37:58

1. $p^{2}-42*4=1$
$p^{2}=169$
$p=13$.

Odp.: Jest tylko jedna para $(13, 2)$.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt   drukuj