logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Geometria, zadanie nr 5313

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

geometria
postów: 863
2017-02-09 01:15:05

$1.$ Który z równoległoboków wpisanych w prostokąt o bokach długości 6 i 8, o bokach równoległych do przekątnych tego prostokąta, ma największy obwód? Ile on wynosi?

Dlugosc $d$ przekatnej tego prostokata wynosi 10 (z tw. Pitagorasa).

Wydaje mi sie, ze tym rownoleglobokiem bedzie romb, ktorego wierzcholki beda lezec na srodkach bokow tego prostokata. Zatem dlugosc boku rombu bedzie rowna 5 i obwod bedzie rowny 4*5=20. Ale jak uzasadnic, ze to akurat ten i czy w ogole?

$2.$ Dany jest pięciokąt foremny $ PQRST$ (opis wierzchołków w kierunku antyzegarowym). Na przekątnej PR zbudowano sześciokąt foremny $PRUVWX$. Jaką miarę ma kąt $SRU$?



tumor
postów: 8070
2017-02-09 08:23:54

1.
Wybieramy punkt x na boku o długości 8.
Czyli odcinki, na jakie ten punkt dzieli bok, mają x i 8-x.

Z tw. Pitagorasa obliczamy długość boków równoległoboku, tak jak to robisz. Podobieństwo trójkątów. Przyjąłeś x=4, a przyjmij po prostu x i licz tak samo.

2.
Ile ma kąt przy Q? Jak policzyć kąt wewnętrzny n-kąta? Jeśli znasz kąt przy Q, to łatwo policzyć PRQ, czyli także SRP. Analogicznie URP jest kątem wewnętrznym wielokąta. Znając URP i SRP policzymy SRU.


geometria
postów: 863
2017-02-09 12:25:11

1. A na boku o dlugosci 6 tez wybieram jakis punkt np. y? czyli wowczas podzielilby on ten bok na odcinki y i 6-y. I wtedy jeden z bokow rownolegloboku niech bedzie a bylby rowny $a=$$\sqrt{x^{2}+y^{2}}$


tumor
postów: 8070
2017-02-09 12:47:52

Przecie jeśli wybierzesz punkt na dłuższym boku, to skoro boki równoległoboku są równoległe do przekątnych prostokąta, to ich długości są już wyznaczone jednoznacznie. y dostajesz za darmo.


Skorzystaj z podobieństwa trójkątów. Jeśli x=4 to najkrótszy bok ma długość 5, a najdłuższy 5. :)
Ile wynoszą dla dowolnego x? Na przykład policz dla x=3, jeśli masz jakieś wątpliwości. Ale użyj podobieństwa.


geometria
postów: 863
2017-02-09 13:28:55

Niech boki tego rownolegloboku to a i b.
Z podobienstwa trojkatow mam:
$\frac{5}{4}=\frac{a}{x}$ i $\frac{5}{4}=\frac{b}{8-x}$. Stad $a=\frac{5}{4}x$, $b=10-\frac{5}{4}x=10-a$.

Dla $x=3:$ $a=\frac{15}{4}$, $b=\frac{25}{4}$. Zatem obwod jest rowny 20.

Dla $x=4: a=b=5$. Zatem obwod jest rowny 20.

Dla $x=7:$ $a=\frac{35}{4}$, $b=\frac{5}{4}$. Obwod jest rowny 20.


Dla dowolnego $0<x<8$: Obw$=2a+2b=2(a+b)=2$($\frac{5}{4}x$$+$$10-\frac{5}{4}x$)$=2*10=20$.

Odp.: Kazdy rownoleglobok wpisany w prostokat o bokach rownoleglych do przekatnych tego prostokata bedzie mial obwod rowny 20.




geometria
postów: 863
2017-02-09 13:53:55

$2.$ Kat $SRU$ ma miare $48^{\circ}$.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt   drukuj