logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Geometria, zadanie nr 5314

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

geometria
postów: 863
2017-02-09 14:09:19

$1.$ W kwadrat o boku 1 wpisano cwiartke kola o promieniu 1 tak, ze srodek jest wierzcholkiem kwadratu. Ze srodka boku wyprowadzono styczna do tego okregu, ktora przeciela drugi bok kwadratu. W jakim stosunku go przeciela?


tumor
postów: 8070
2017-02-09 14:27:15

Można geometrią analityczną:
Niech środek koła w $(0,0)$ będzie,
a środek boku w $(\frac{1}{2},1)$

Prosta przechodząca przez środek boku to

$y-1=a(x-\frac{1}{2})$, nie znamy a. Musi być takie, żeby odległość tej prostej od punktu $(0,0)$ była równa 1 (promień okręgu).
Kojarzysz wzór na odległość punktu od prostej?

---
Bez tego wzoru: dla pewnego a układ 2 równań: równania prostej i równania okręgu, ma tylko 1 rozwiązanie ($\Delta=0$)





geometria
postów: 863
2017-02-09 16:10:25

Ze wzoru na odleglosc punktu od prostej:$ a=0$ lub $a=$$-\frac{4}{3}$.

Dla $a=$$-\frac{4}{3}$ rozwiazaniem ukladu rownan jest para ($\frac{4}{5}$, $\frac{3}{5}$). To jest punkt przeciecia prostej i okregu.

A w jakim stosunku ta styczna przeciela drugi bok kwadratu?


tumor
postów: 8070
2017-02-09 16:28:49

Jeśli znasz prostą (bo masz jej równanie) to znajdziesz też jej punkt przecięcia z prostą x=1 (zawierającą sąsiedni bok kwadratu)


geometria
postów: 863
2017-02-09 16:29:55

Kwadrat ma wierzcholki w punktach $A=(0,0)$, $B=(1,0)$, $C=(1,1)$, $D=(0,1)$.

Prosta x=1 zawiera ten drugi bok kwadratu, ktory przecina styczna. Punkt przeciecia sie tej stycznej z tym bokiem to (1, $\frac{1}{3}$). Odleglosc punktu $B=(1,0)$ od punktu (1, $\frac{1}{3}$) jest rowna $\frac{1}{3}$. Wowczas odleglosc punktu (1, $\frac{1}{3}$) od punktu $(1,1)$ jest rowna $\frac{2}{3}$. Zatem stosunek ten wynosi $\frac{2}{3}$ do $\frac{1}{3}$, czyli $2:1$.


geometria
postów: 863
2017-02-09 16:32:44

Czy $1:2$?


tumor
postów: 8070
2017-02-09 16:58:21

Wygląda sensownie. Dla mnie obojętne, czy powiesz 2:1 czy 1:2, bo to zależy tylko od punktu widzenia. Możesz napisać odpowiedź pełnym zdaniem, wtedy jasno określisz, który odcinek jest ten dłuższy.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt   drukuj