logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Geometria, zadanie nr 5316

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

geometria
postów: 863
2017-02-09 14:48:36

$1.$ Dany jest czworokąt wpisany w okrąg. Proste zawierające przeciwległe boki czworokąta przecinają się w punktach $P$ i $Q$. Oblicz |$PQ$|, wiedząc, że odcinki styczne do okręgu poprowadzone z $P$ i $Q$ mają długości odpowiednio $a$ i $b$.

$2.$ W czworokącie $ABCD$ mamy: $|AB| = a$ oraz $|AD| = b$. Boki $BC$, $CD$ i $AD$ są styczne do okręgu, którego środek znajduje się w połowie boku $AB$. Oblicz $|BC|$.

$3.$ W trójkąt $ABC$ wpisano okrąg. $M$ i $N$ są punktami styczności tego okręgu odpowiednio z bokami $BC$ i $BA$.
Niech $K$ będzie punktem przecięcia dwusiecznej kąta $A$ z prostą $ MN$. Wykaż, że kąt $AKC$ jest prosty.






geometria
postów: 863
2017-02-09 16:18:36

Jakies podpowiedzi?


geometria
postów: 863
2017-02-11 12:21:55

$ 1. $
Niech ten czworokat to ABCD oraz niech kat ABC=$\alpha$, kat ADC=$\beta$, kat DAB=$\gamma$, kat DCB=$\delta$. Z warunku wpisywalnosci czworokata w okrag mamy: $\alpha+\beta= \gamma+\delta=180^{\circ}$.
Odcinki styczne do okregu wychodzace z punktu P sa styczne do niego odpowiednio w E i G, a odcinki styczne do okregu wychodzace z punktu Q sa styczne do niego odpowiednio w F i H.
Wowczas z tw. o potedze punktu (o stycznej i siecznej) mamy
PE=PG=a oraz QF=QH=b. Ponadto PA*PD=PB*PC=$a^{2}$ oraz QB*QA=QC*QD=$b^{2}$.
Probuje znalezc trojkaty podobne ze wzgledu na (kkk), ale mam problem z ich znalezieniem.



tumor
postów: 8070
2017-02-12 10:17:36

1. Podobne są dwa trójkąty o kącie przy P.
Analogicznie podobne są dwa trójkąty o kącie przy Q.


2. Zauważ, że polecenie sugeruje, że rozwiązanie nie zależy od promienia okręgu. Możesz zatem dobrać okrąg tak, jak Ci się łatwo liczy, choć wtedy należy pokazać, że zmiana wielkości okręgu nie zmieni rozwiązania. (Robiliśmy analogicznie kiedyś równoległobok. Użyliśmy prostokąta i pokazaliśmy, że każdy równoległobok się do tego prostokąta sprowadza dając te same rozwiązania)



geometria
postów: 863
2017-02-12 20:50:24

1.
Znalazlem takie trojkaty podobne ze wzgledu na kkk.
$PAB\sim PDC$ oraz $QBC\sim QAD$, ale zaden z nich nie zawiera boku PQ. Czy o te trojkaty chodzilo? Odpowiednie ich boki sa proporcjonalne, ale te rownosci wychodza takie jak z tw. o dwoch siecznych.


geometria
postów: 863
2017-02-12 23:03:18

2. Z tw. o potedze punktu: odcinki poprowadzone z punktu D do punktu stycznosci sa rowne (analogicznie z punktu C).
Rysujac promienie do punktow stycznosci, zauwazamy, ze te dwa trojkaty na dole sa przystajace (bbb) (r, a/2, trzeci bok wynika z tw. Pitagorasa).


geometria
postów: 863
2017-02-13 11:53:26

2. Moze cos trzeba gdzies dorysowac?

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt   drukuj