Topologia, zadanie nr 5339

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
dyrand postów: 4	2017-02-16 20:53:30 Niech $I(a,b)$ będzie odcinkiem domkniętym pomiędzy $a,b\in \mathbb{R}^n $ ($(a,b) \in I(a,b)$) Mam poniższe dwa zadania, wszystko się dzieje w przestrzeniach z metryka euklidesową (1) Niech $A \subset \mathbb{R}^+$, $B \subset \mathbb{R}^+$ oraz A i B są zwarte pokazać że $I(A,B) = \bigcup\{I((a,0),(0,b)): a\in A, b\in B\} \subset \mathbb{R}^2$ jest zwarty (2) $A \subset \mathbb{R}^2$, $f: A \rightarrow \mathbb{R}$ oraz f ciągła niech $X = \bigcup \{I(a,b): b=(0,0,f(a)), a \in A\}$ udowodnić, że jeśli A jest spójny to X jest spójny. Jak można pokazywać rzeczy tego typu? Wiadomość była modyfikowana 2017-02-16 22:36:35 przez dyrand

tumor postów: 8070	2017-02-16 21:19:38 Można skorzystać z własności przestrzeni $R^n$, że zbiory są zwarte wtw są domknięte i ograniczone. (1) Chodzi tylko o podzbiory R? Prostej? W takim razie w ogóle nie powinno nastręczać trudności pokazanie, że I(A,B) jest ograniczony. Minimalnie dłużej potrwa pokazywanie, że jest domknięty, ale to też nie jest trudne. (2) można skorzystać z faktu, że ciągły obraz zbioru spójnego jest spójny albo spójność pokazywać z innych twierdzeń. Natomiast nie wiem jak mam interpretować, że $a\in R^2, b\in R^3$.

dyrand postów: 4	2017-02-16 22:07:03 (1) Czyli np. ograniczeniem jest pudełko otwarte $(0, sup A) \times (0, sup B)$ i to leży w kuli o promieniu będącym max z tych supremów. Ale nie wiem jak z tą domkniętością. W znaczeniu rozumiem, że ten "zewnętrzny brzeg" należy do I(A,B) ale nie wiem, dlaczego nie ma dziur w zbiorze I(A,B) (2) Przesadnie uprościłem treść zadania i spowodowało to pojawienie się błędu. W oryginale było: $A \subset \mathbb{R}^2 \times \{0\}$ i wtedy chyba wszystko jest ok z wymiarami. No ok, A i f(A) są spójne, oraz dla każdego x, jest droga z x do f(x), więc czy wystarczyłoby pokazać, że jeśli mamy jakąś funkcję ciągłą $\pi: X \rightarrow {0,1}$ to jest ona funkcją stałą? Czyli zaczynamy od jakiegoś punktu w dziedzinie i skoro A jest spójny to na całym A ta funkcja jest stała, na dowolnym z odcinków jest stała (bo mają punkt wspólny), więc i na przeciwdziedzinie, i każdym z odcinków jest stała (no bo punkty wspólne). W sumie czy X jest łukowo spójny? Edit: Chyba nie, tzn. jeśli A i f(A) nie są łukowo spójne to te fragmenty chyba nie są połączone drogą nigdy. Wiadomość była modyfikowana 2017-02-16 22:33:58 przez dyrand

dyrand postów: 4	2017-02-16 22:37:05 Poprawiłem treść (1): (1) Niech $A \subset \mathbb{R}^+$, $B \subset \mathbb{R}^+$ oraz A i B są zwarte pokazać że $I(A,B) = \bigcup\{I((a,0),(0,b)): a\in A, b\in B\} \subset \mathbb{R}^2$ jest zwarty

tumor postów: 8070	2017-02-16 22:56:21 (1) Rzeczywiście pociachałeś za mocno zadanie, bo się zmieniły wymiary przestrzeni. :) Poza tym jednak istnienie dziur nie wpływa nijak na zwartość. Masz pokazać zwartość i już. Ograniczenia pokazać łatwo. Domkniętość najczęściej pokazuje się przez pokazanie otwartości dopełnienia: bierzemy punkt z dopełnienia i pokazujemy, że pewne jego otoczenie też zawiera się w dopełnieniu. (2) Masz dwa zbiory spójne. A jest spójny w $R^3$, f(A) jest spójny w R, no ale zbiór punktów $(0,0,f(a)) a\in A$ jest spójny w $R^3$. Zgadzasz się, że jeśli pewna rodzina zbiorów P należących do $R^n$ ma tę własność, że $Q\in P$ i każdy element P ma niepusty przekrój z Q, to suma P jest zbiorem spójnym w $R^n$? Zwracam uwagę, że w ścisłym sensie nie ma drogi między x a f(x), tylko między x a (0,0,f(x)). Owszem, wystarczy pokazać stałość takiej funkcji $\pi$, sensownie. Zgadzam się z pomysłem, że odpowiednie dobranie A i f daje X, który nie musi być spójny łukowo, w przypadku bardziej ogólnym. Możesz mi podać przykład zbioru spójnego w R, który nie jest łukowo spójny? Wiadomość była modyfikowana 2017-02-17 23:52:03 przez tumor

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj